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Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales

Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de orden superior

Muchos de los problemas de la f铆sica como el movimiento de un sistema de masas unidos a resortes, como tambi茅n algunos otros problemas prominentes de la ingenier铆a, etc. incluyen las ecuaciones diferenciales de orden superior para representar el estado de tal sistema.

Para t煤 asombro, incluso las actividades deportivas como el paracaidismo incluyen los conceptos de las ecuaciones diferenciales de orden superior para describir el movimiento de un cuerpo en el aire, su velocidad, aceleraci贸n, etc. Algunos de los ejemplos prominentes que toman en cuenta las ecuaciones diferenciales de orden superior son los siguientes.

1. Paracaidismo: Es uno de los deportes de aventura m谩s famosos y reconocido en todo el mundo. Pero muy pocas personas son conscientes de que incluye los conceptos de ecuaciones diferenciales con el fin de rastrear los objetos volando en el aire. Es muy importante hacer esto, porque que la velocidad del objeto debe estar dentro de los l铆mites especificados mientras se aproxima al suelo. Para ello se presta especial atenci贸n a la velocidad dentro del tiempo de proyecci贸n para un aterrizaje seguro.

Velocidad, aceleraci贸n y posici贸n son las cantidades principales que demuestran el movimiento de un cuerpo. Desde el principio, la f铆sica ha demostrado que la aceleraci贸n es el diferencial de la velocidad respecto al tiempo y que la velocidad que es el diferencial de la posici贸n con respecto al tiempo. Esto implica que si de alguna manera nos las arreglamos para obtener una de las cantidades, entonces tambi茅n podemos obtener las otras dos cantidades.

La segunda ley de Newton del movimiento nos da la relaci贸n, F卢net卢 = m.a, reescribiendo esta relaci贸n de la forma siguiente,

Esta expresi贸n dada es una ecuaci贸n diferencial de segundo orden para la variable s, la cual es la posici贸n de la part铆cula.

2. Movimiento arm贸nico simple: Sea un cuerpo cuya masa m1 yace sobre una mesa. La mesa est谩 libre de fricci贸n. El cuerpo est谩 conectado a una superficie est谩tica con la ayuda de un resorte. Este resorte est谩 en una posici贸n sin estirar. La constante el谩stica del resorte es k1. La situaci贸n anterior puede ilustrarse como,

Aqu铆 O1 es la posici贸n inicial del cuerpo. La masa del cuerpo puede ser cambiada de la posici贸n de equilibrio, mediante mover el cuerpo en cualquier direcci贸n y luego soltarlo. Un ejemplo de ello es,

Esto har铆a que el bloque oscilara en torno a la posici贸n inicial debido a que el resorte ejerce una cierta cantidad de fuerza sobre el cuerpo para mantenerlo en movimiento. Este tipo de oscilaci贸n que es llamado movimiento arm贸nico simple.

La ley de Hook nos da una relaci贸n entre la cantidad de fuerza ejercida por el resorte sobre el cuerpo y la distancia desde la posici贸n de equilibrio. Esta f贸rmula se expresa como,

Ahora, aplicando la segunda ley del movimiento de Newton para el sistema anterior obtenemos,

O reescribi茅ndola obtenemos la relaci贸n,

La expresi贸n anterior es una ecuaci贸n diferencial homog茅nea de segundo orden con coeficientes constantes cuya soluci贸n general puede darse como,

Por consiguiente, hemos obtenido el desplazamiento del cuerpo desde la posici贸n de equilibrio y por lo tanto, es posibleobtener las otras cantidades.

Saludos y suerte prof lauro soto


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