Algebra De Vectores

Algebra De Vectores

Espacios vectoriales de uso común

Dentro de los espacios vectoriales de dimensión finita, son de amplio uso los tres tipos siguientes de espacios vectoriales:

Vectores en Rn

Este espacio vectorial está formado por el conjunto de vectores de n dimensión (es decir con n número de componentes). Podemos encontrar un ejemplo de ellos en los vectores R2 , que son famosos por representar las coordenadas cartesianas: (2,3), (3,4),…

Matrices m \times n

Es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones, cuyas dimensiones son descritas en las cantidades de filas (usualmente m) por las de columnas (n) que poseen. Los arreglos matriciales son particularmente estudiados por el álgebra lineal y son bastantes usados en las ciencias e ingeniería.

Espacio vectorial de polinomios en una misma variable Un ejemplo espacio vectorial está dado por todos los polinomios cuyo grado es menor o igual a 2 con coeficientes reales sobre una variable x.

Ejemplos de tales polinomios son:

4x^2–5x+1,\quad \frac{2x^2}{7}−3,\quad 8x+4,\quad 5

La suma de dos polinomios cuyo grado no excede a 2 es otro polinomio cuyo grado no excede a 2:

 (3x^2–5x+1) + (4x-8) = 3x^2 -x −7 

El campo de escalares es naturalmente el de los números reales, y es posible multiplicar un número por un polinomio:

 5\cdot(2x + 3) = 10x + 15

donde el resultado nuevamente es un polinomio (es decir, un vector).

Un ejemplo de transformación lineal es el operador derivada D, que asigna a cada polinomio el resultado de derivarlo:

D (3x^2 - 5x +7 ) = 6x - 5. El operador derivada satisface las condiciones de linealidad, y aunque es posible demostrarlo con rigor, simplemente lo ilustramos con un ejemplo la primera condición de linealidad:

 D( (4x^2 + 5x-3) + (x^2 -x −1)) = D(5x^2 +4x −4)=10x + 4

y por otro lado:

 D(4x^2+5x-3) + D(x^2-x-1) = (8x+5) 
 + (2x-1) = 10x +4.

Cualquier espacio vectorial tiene una representación en coordenadas similar a \mathbb{R}^n, lo cual se obtiene mediante la elección de una base (álgebra) (es decir, un conjunto especial de vectores), y uno de los temas recurrentes en el álgebra lineal es la elección de bases apropiadas para que los vectores de coordenadas y las matrices que representan las transformaciones lineales tengan formas sencillas o propiedades específicas.

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