Transformaciones Elementales Por Renglon

Transformaciones Elementales Por Renglon

Transformaciones elementales en las filas, Las fases de una matriz, Rango de una matriz

Si se intercambian dos filas cualesquiera de una matriz dada, llamamos a esta operación una operación de transformación elemental en las filas de una matriz. Se denota por R¬ij¬¬, lo cual implica que se intercambian las filas i y j de la matriz dada. Esta operación también se denota por R¬i¬ <→ R-j¬.

Un punto digno de notar es que esta operación no es de naturaleza singular. De hecho se ha demostrado, que todas las matrices no singulares son el resultado de la transformación elemental en la fila de una matriz . Si esto es cierto, entonces podemos concluir, que para todas las matrices no singulares también tenemos una matriz inversa, la cual tampoco es singular y es también el resultado de la transformación elemental en la fila de una matriz. Esta matriz elemental se denomina la matriz identidad I y tenemos el resultado A x I = A-1

Existen tres operaciones básicas que pueden realizarse para transformar la fila de una matriz dada:

1. Intercambiar dos filas de la matriz dada, es decir, poner los elementos de una fila en el lugar del otro y viceversa. 2. Realizar la operación de multiplicación a cualquier fila de la matriz dada, multiplicando todas las entradas de esa fila con un elemento escalar. 3. Extraer un múltiplo común de todas las entradas de una fila y agregarlo a las entradas de la otra fila.

La transformación de fila es una operación básica importante de las matrices, la cual generalmente no altera el rango de la matriz dada. Podemos continuar la transformación de las filas de la matriz hasta que obtengamos una como la primera entrada diferente de cero apareciendo en cada fila.

Para que un sistema de ecuaciones u otros elementos representados a través de una matriz para designar estos como linealmente dependientes debe existir un vector de elementos escalares tal que satisfaga la ecuación dada,

Podemos obtener la matriz cuadrada de una matriz, tomando, una parte de la matriz r x r de la matriz dada. Y llamamos a sus determinantes filas menores de r para la matriz de entrada. Entre todas las submatrices, el determinante que tenga el valor más alto distinto de cero, y que también es la submatriz más grande para la matriz dada, puede determinar el rango de la matriz dado que su orden igual al rango de la matriz actual.

Tomemos como ejemplo la siguente matriz:

A continuación se muestra las posibles submatrices de la matriz, que tienen sus determinantes como cero,

Esto significa que no podemos tener un rango de tres así que intentemos con la submatriz de orden dos, la cual da el rango de la matriz actual,

El determinante resulta ser 20, el cual es el más grande y por lo tanto, el rango de la matriz dada es dos.

saludos y suerte prof lauro soto


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