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Teorema Fundamental Del Calculo

Teorema Fundamental del C谩lculo

El c谩lculo est谩 en el coraz贸n de las matem谩ticas y se compone de dos operaciones b谩sicas que son, integraci贸n y diferenciaci贸n. Exist铆a la necesidad de cerrar la brecha entre estas dos operaciones y por tanto el Teorema Fundamental del C谩lculo fue dise帽ado. Este teorema est谩 dividido en dos partes, a saber: El Primer Teorema Fundamental del C谩lculo y el Segundo Teorema Fundamental del C谩lculo.

De acuerdo con el Primer Teorema Fundamental del C谩lculo, para una funci贸n f: X Y la cual es una funci贸n continua de un intervalo con rango desde [p, q], existe una funci贸n integral indefinida F de la funci贸n dada en el mismo intervalo de forma que,

Este teorema ayuda a establecer una conexi贸n entre la integraci贸n indefinida que es 煤nicamente de origen algebraico y la integraci贸n definida que es 煤nicamente de origen geom茅trico. Tambi茅n sugiere la existencia de una antiderivada para cada funci贸n que sea continua.

Demos un vistazo a un ejemplo para tener una comprensi贸n m谩s profunda.

De acuerdo con el Segundo Teorema Fundamental del C谩lculo, para una funci贸n f: X → Y la cual es una funci贸n continua de un intervalo abierto donde haya un punto x dentro de este intervalo abierto entonces una funci贸n integral indefinida F de la funci贸n dada ser谩 definida como,

Entonces para cada punto en el intervalo abierto de la funci贸n dada se puede concluir que,

En t茅rminos simples se puede afirmar que para cualquiera de las funciones su integral definida se puede calcular con la ayuda de cualquiera de sus antiderivadas.

El segundo teorema es altamente utilizado para aplicaciones pr谩cticas dado que con el uso de este teorema se hace muy f谩cil calcular la integral definida de una funci贸n.

El Teorema Fundamental del C谩lculo se ha modificado para hacerlo conveniente para resolver algunos de los problemas de las curvas lo cual pude ser establecido como, para una funci贸n f: X → Y la cual tiene una integral indefinida continua en alg煤n 谩rea limite la cual en s铆 contiene una curva parametrizada ,

Si el Teorema Fundamental del C谩lculo se combina con la Regla de la Cadena, algunos los resultados de inter茅s procedentes del c谩lculo pueden ser obtenidos. Por ejemplo, sea f(z) una funci贸n continua sobre el intervalo [p, q] y asuma que g(z) es diferenciable en el mismo intervalo, entonces podemos afirmar que,

Como sabemos que la Regla de la Cadena establece que,

Una forma generalizada para la expresi贸n puede ser,

Para la expresi贸n anterior ambas funciones g(z) y v(z) son diferenciables en el intervalo dado. Un ejemplo har铆a las cosas m谩s f谩ciles de entender,

Aqu铆 F(x) no posee una forma expl铆cita de s铆 misma.


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