Motorola Moto G 4ta Generacion Plus, 5.5", C醡ara 16Mp, 32GB, Procesador Snapdragon 617 Octo-Core, Android Marshmallow 6.0.1, color Negro, Dual SIM, XT1641 Teorema De De Moivre

Teorema De De Moivre

Teorema De Moivre, potencias y extracci贸n ra铆ces de a un n煤mero complejo

La multiplicaci贸n de dos n煤meros complejos se realiza mediante la operaci贸n de multiplicaci贸n en los respectivos m贸dulos, esto es r y realizando la operaci贸n de adici贸n en el componente angular, este es . Si en alg煤n momento deseas encontrar el cuadrado de un n煤mero complejo, en otras palabras, realizar la multiplicaci贸n de dos n煤meros complejos, los cuales son de hecho iguales, entonces obtendr铆amos algo como:

r x r = r2

Esto es, por la multiplicaci贸n de los m贸dulos obtenemos r2 y por la suma de los dos componentes angulares obtenemos .

Sin embargo, ahora escribimos el n煤mero complejo en su forma polar y realizamos la operaci贸n de multiplicaci贸n, entonces obtendr铆amos algo as铆,

[r (cos + i sin )] x [r (cos + i sin )] = r2 (cos 2 + i sin 2 )

De la misma forma, al aumentar el n煤mero complejo al exponente tres, tendr铆amos que realizar la operaci贸n de multiplicaci贸n en los n煤meros complejos, los cuales son iguales. Esto es obtenemos t茅rminos como los siguientes,

r x r x r = r3

Y para la forma polar, los t茅rminos ser铆an,

[r (cos + i sin )] x [r (cos + i sin )] x [r (cos + i sin )] = r3 (cos 3 + i sin 3 )

Y esto se sigue repitiendo. Todo lo que podemos decir es que existe un patr贸n fijo el cual se puede notarse con claridad por los ejemplos anteriores, al elevar un numero complejo a algunos exponentes, estamos de hecho elevando el t茅rmino m贸dulo de ese exponente y el componente angular es, incluso, multiplicado por el n煤mero de ese exponente. En forma breve podemos concluir que, [r (cos + i sin )]n = [rn (cos n + i sin n )]

Llamamos a este teorema, el teorema De Moivre. Este teorema es usualmente utilizado para la determinaci贸n de las potencias de cualquier n煤mero complejo, ya que permite de manera f谩cil cumplir con el prop贸sito sin la necesidad de hacer ning煤n tipo de c谩lculo complejo.

Si podemos cuadratizar un n煤mero complejo, encontrar su cubo o aumentarlo a cualquier potencia, de la misma manera podemos extraer sus ra铆ces. Sin embargo, esto es un poco diferente a la extracci贸n de ra铆ces en los n煤meros reales. Para determinar la ra铆z de un n煤mero complejo, todo lo que tenemos que hacer es ir a por la t茅cnica de ingenier铆a inversa, esto es moverse en la direcci贸n inversa a la determinaci贸n de la potencia de un n煤mero complejo.

El procedimiento consiste simplemente en dividir el exponente de los m贸dulos por el n煤mero de grado de la ra铆z y hacer lo mismo con el coeficiente del componente angular. Es decir, si tenemos que encontrar la nt ra铆z de un n煤mero complejo, entonces divide el exponente del m贸dulo por n y divide el coeficiente por n.

  = rn/n  

O para la forma polar del n煤mero complejo, podemos escribirlo como,

[rn (cos n + i sin n )] = [rn/n (cos (n/n) + i sin (n/n) )]

saludos y suerte prof lauro soto


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