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Sumas De Riemann

En las matem谩ticas , una suma de Riemann es una suma de un gran n煤mero de peque帽as particiones de una regi贸n. Se puede utilizar para definir la integraci贸n de la operaci贸n. El m茅todo fue nombrado por el matem谩tico alem谩n Bernhard Riemann .

Vamos f : D → R una funci贸n definida en un subconjunto, D , de la recta real, R . Deja que yo = [ a , b ] es un intervalo cerrado contenido en D , y dejar

ser una partici贸n de I , donde

La suma de Riemann de f sobre I con la partici贸n P se define como

La elecci贸n de x_i ^ *en el intervalo [X_ {i-1}, x_i]es arbitraria.

Ejemplo: opciones espec铆ficas de x_i ^ *darnos diferentes tipos de sumas de Riemann:

Si x_i ^ * = x_ {i-1}para todos los i , entonces S se llama suma de Riemann izquierda . Si x_i ^ * = x_ipara todos los i , entonces S se llama suma de Riemann derecha . Si x_i ^ * = \ tfrac {1} {2} (x_i + x_ {i-1})para todos los i , entonces S se llama una suma de Riemann medio . El promedio de izquierda y derecha de la suma de Riemann es la suma trapezoidal . Si se da que

donde v_ies el supremo de f sobre [X_ {i-1}, x_i], entonces S se define como una suma de Riemann superior . Del mismo modo, si v_ies el 铆nfimo de f m谩s [X_ {i-1}, x_i], entonces S es una menor suma de Riemann .

Cualquier suma de Riemann en una partici贸n dada (es decir, para cualquier elecci贸n de x_i ^ *entre x_ {i-1}y x_i) est谩 contenida entre la parte inferior y las sumas de Riemann superiores. Una funci贸n se define para ser integrable Riemann si los inferior y superior sumas de Riemann se vuelven cada vez m谩s cerca como la partici贸n consigue m谩s fino y m谩s fino. Este hecho tambi茅n se puede utilizar para la integraci贸n num茅rica .

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