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Sistemas De Ecuaciones Lineales

Sistemas de Ecuaciones Lineales

La asignatura del 谩lgebra surgi贸 del estudio de las ecuaciones. Por ejemplo, uno podr铆a querer encontrar todos los n煤meros reales x tal que x = x2 - 1.

Para resolverlo, podr铆amos rescribir la ecuaci贸n como x2 - x - 6 = 0 y entonces ubicar el factor a su izquierda.

Esto nos dice que (x - 3) (x + 2) = 0, por lo que podemos concluir que x = 3 o x = −2 dado que x - 3 贸 x + 2 tiene que ser cero.

La ecuaci贸n lineal m谩s simple es la ecuaci贸n ax = b. La letra x es la variable, y a y b son n煤meros fijos. Por ejemplo, considere 4x = 3.

La soluci贸n es x = 3 / 4.

En general, si a = 0, entonces x = b / a, y esta soluci贸n es 煤nica. Si a = 0 y b = 0, no existe soluci贸n, ya que la ecuaci贸n dice que 0 = b.

Y en el caso de que a y b fueran 0, cada n煤mero real x es una soluci贸n. Esto se帽ala una propiedad general de las ecuaciones lineales.

O hay una soluci贸n 煤nica (es decir, exactamente una), no hay soluci贸n o hay un n煤mero infinito de soluciones.

En general, si x1, x2. . . xn son variables y a1, a2 . . . an y c son n煤meros reales fijos, entonces se dice que la ecuaci贸n

a1×1 + a2×2 + 鈥 鈥 鈥 + anxn = c

es una ecuaci贸n lineal. Los ai son los coeficientes, las xi las variables y c es la constante.

Mientras que en situaciones familiares, los coeficientes son n煤meros reales, se convierten en otros escenarios importantes

como la teor铆a de c贸digos, los coeficientes pueden ser elementos de alg煤n campo general.

 En un campo es posible llevar a cabo la divisi贸n. Los n煤meros reales son un campo, pero los n煤meros enteros no lo son (3/4 no es un entero).

Tomemos otro ejemplo. Imagina que est谩s planeando hacer un bizcocho usando 10 ingredientes, y deseas que el bizcocho tenga 2000 calor铆as.

Sea ai el n煤mero de calor铆as por gramo del ingrediente ith.

Probablemente, cada ai es no negativo, aunque en el futuro, los alimentos con calor铆as negativas, podr铆an estar disponibles.

De manera similar, sea xi el n煤mero de calor铆as por gramo del ingrediente ith. Entonces a1×1 + a2×2 + 鈥 鈥 鈥 + a10×10 es el n煤mero total de calor铆as en la receta.

Como deseas que el n煤mero total de calor铆as en tu pastel sea exactamente 2000, consideras la ecuaci贸n a1×1 + a2×2 + 鈥 鈥 鈥 + a10×10 = 2000.

El total de posibles soluciones x1, x2. . . x10 para esta ecuaci贸n es el conjunto de todas las recetas posibles que puedas realizar.

Los siguientes ejemplos mas dif铆ciles ilustran como ecuaciones lineales pueden usarse en problemas no lineales.

Siendo R los n煤meros reales, imagina que deseamos saber sobre el conjunto de soluciones comunes de las ecuaciones z = x2 + xy5 y z2 = x + y4.

Estas ecuaciones representan dos superficies en tres espacios reales R3, por lo cual esperamos que el conjunto de soluciones comunes este sobre una curva.

Aqu铆 es imposible expresar las soluciones en forma cerrada, pero podemos estudiar a estos utilizando los m茅todos lineales.

Por ejemplo, ambas superficies se encuentran en (1, 1, 1), y ambos tienen un plano tangente en (1, 1, 1).

La recta tangente a la curva de intersecci贸n en (1, 1, 1) es la intersecci贸n de estos dos planos tangentes.

Esto nos dar谩 una aproximaci贸n lineal a la curva cerca de (1, 1, 1).

Un sistema lineal general que consta de m ecuaciones con n inc贸gnitas se ver谩 asi:

a11×1 + a12×2 + 鈥 鈥 鈥 + a1nxn = b1

a21×1 + a23×2 + 鈥 鈥 鈥 + a2nxn = b2

am1×1 + am2×2 + 鈥 鈥 鈥 + amnxn = bm.

Observe c贸mo los coeficientes aij est谩n designados.

El primer 铆ndice da su fila y el segundo 铆ndice su columna.

El caso en el que todas las constantes bi son cero es llamado caso homog茅neo. De lo contrario, se dice que el sistema es no homog茅neo.

saludos y suerte prof lauro soto


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