Sistemas De Ecuaciones Lineales

Sistemas De Ecuaciones Lineales

Sistemas de Ecuaciones Lineales

La asignatura del álgebra surgió del estudio de las ecuaciones. Por ejemplo, uno podría querer encontrar todos los números reales x tal que x = x2 - 1.

Para resolverlo, podríamos rescribir la ecuación como x2 - x - 6 = 0 y entonces ubicar el factor a su izquierda.

Esto nos dice que (x - 3) (x + 2) = 0, por lo que podemos concluir que x = 3 o x = −2 dado que x - 3 ó x + 2 tiene que ser cero.

La ecuación lineal más simple es la ecuación ax = b. La letra x es la variable, y a y b son números fijos. Por ejemplo, considere 4x = 3.

La solución es x = 3 / 4.

En general, si a = 0, entonces x = b / a, y esta solución es única. Si a = 0 y b = 0, no existe solución, ya que la ecuación dice que 0 = b.

Y en el caso de que a y b fueran 0, cada número real x es una solución. Esto señala una propiedad general de las ecuaciones lineales.

O hay una solución única (es decir, exactamente una), no hay solución o hay un número infinito de soluciones.

En general, si x1, x2. . . xn son variables y a1, a2 . . . an y c son números reales fijos, entonces se dice que la ecuación

a1×1 + a2×2 + • • • + anxn = c

es una ecuación lineal. Los ai son los coeficientes, las xi las variables y c es la constante.

Mientras que en situaciones familiares, los coeficientes son números reales, se convierten en otros escenarios importantes

como la teoría de códigos, los coeficientes pueden ser elementos de algún campo general.

 En un campo es posible llevar a cabo la división. Los números reales son un campo, pero los números enteros no lo son (3/4 no es un entero).

Tomemos otro ejemplo. Imagina que estás planeando hacer un bizcocho usando 10 ingredientes, y deseas que el bizcocho tenga 2000 calorías.

Sea ai el número de calorías por gramo del ingrediente ith.

Probablemente, cada ai es no negativo, aunque en el futuro, los alimentos con calorías negativas, podrían estar disponibles.

De manera similar, sea xi el número de calorías por gramo del ingrediente ith. Entonces a1×1 + a2×2 + • • • + a10×10 es el número total de calorías en la receta.

Como deseas que el número total de calorías en tu pastel sea exactamente 2000, consideras la ecuación a1×1 + a2×2 + • • • + a10×10 = 2000.

El total de posibles soluciones x1, x2. . . x10 para esta ecuación es el conjunto de todas las recetas posibles que puedas realizar.

Los siguientes ejemplos mas difíciles ilustran como ecuaciones lineales pueden usarse en problemas no lineales.

Siendo R los números reales, imagina que deseamos saber sobre el conjunto de soluciones comunes de las ecuaciones z = x2 + xy5 y z2 = x + y4.

Estas ecuaciones representan dos superficies en tres espacios reales R3, por lo cual esperamos que el conjunto de soluciones comunes este sobre una curva.

Aquí es imposible expresar las soluciones en forma cerrada, pero podemos estudiar a estos utilizando los métodos lineales.

Por ejemplo, ambas superficies se encuentran en (1, 1, 1), y ambos tienen un plano tangente en (1, 1, 1).

La recta tangente a la curva de intersección en (1, 1, 1) es la intersección de estos dos planos tangentes.

Esto nos dará una aproximación lineal a la curva cerca de (1, 1, 1).

Un sistema lineal general que consta de m ecuaciones con n incógnitas se verá asi:

a11×1 + a12×2 + • • • + a1nxn = b1

a21×1 + a23×2 + • • • + a2nxn = b2

am1×1 + am2×2 + • • • + amnxn = bm.

Observe cómo los coeficientes aij están designados.

El primer índice da su fila y el segundo índice su columna.

El caso en el que todas las constantes bi son cero es llamado caso homogéneo. De lo contrario, se dice que el sistema es no homogéneo.

saludos y suerte prof lauro soto


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