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Rotacion

Aplicaci贸n de las transformaciones lineales: reflexi贸n, expansi贸n, contracci贸n y rotaci贸n

Graficar un conjunto de puntos en otro es lo que se conoce como transformaci贸n lineal de un conjunto de puntos.

Existen ciertas propiedades b谩sicas de las transformaciones lineales, las cuales si son tomadas en cuenta y aplicadas al momento de resolver un problema, pueden reducirlo un problema simple.

La notaci贸n general utilizada para una transformaci贸n lineal es T: Rn  Rm.

1. Reflexi贸n: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isom茅trico al espacio euclidiano de entrada, llamamos a la operaci贸n realizada la reflexi贸n del conjunto de puntos dado.

Esto puede realizarse tambi茅n con respecto a la matriz, en tal situaci贸n la matriz de salida es llamada la matriz de reflexi贸n.

La reflexi贸n es realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es como producir la imagen espejo de la matriz actual.

2. Expansi贸n: Al igual que en la reflexi贸n, tambi茅n es posible expandir los puntos dados en una direcci贸n particular.

La expansi贸n se realiza habitualmente para un cierto grado. Es como realizar una operaci贸n de multiplicaci贸n de los elementos del conjunto de puntos dados con un t茅rmino escalar hacia la direcci贸n donde tiene que ser expandido.

Sea para un punto (2, 3) si el grado de expansi贸n 2 es la direcci贸n de y, entonces el nuevo punto obtenido es (2, 6).

3. Contracci贸n: La contracci贸n es el procedimiento inverso de la expansi贸n. Aqu铆 el punto es contra铆do en un determinado grado hacia una direcci贸n dada.

Sea el punto de entrada (4, 8) y este debe ser contra铆do para el grado dos en la direcci贸n de x entonces el nuevo punto resulta ser (2, 8).

4. Rotaci贸n: El t茅rmino rotaci贸n tiene dos significados, ya la rotaci贸n de un objeto puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo.

La rotaci贸n se realiza para un cierto grado el cual es expresado en forma de un 谩ngulo.

Asimismo, la rotaci贸n puede realizarse en la direcci贸n de las manecillas del reloj, o inverso a las manecillas del reloj.

Como ejemplo, dirij谩monos a producir la matriz est谩ndar para la representaci贸n de la transformaci贸n lineal reflejando un conjunto de puntos en el plano x-y a trav茅s de la recta y = (−2x / 3).

El primer paso para esto es determinar los vectores base.

Por lo tanto, podemos afirmar que,

Dado que y pertenece a R2. Imagina que A: R2  R2 es una transformaci贸n lineal, entonces podemos escribir que,

La imagen de la matriz base determina la imagen de cualquier elemento. Por lo tanto la imagen de a trav茅s de y = (−2x/ 3) es determinada mediante la obtenci贸n de una recta que pasa por (1, 0) y es que es ortogonal a.

Esto est谩 dado por y = (3x/ 2) 鈥 (3/ 2).

El punto donde las dos rectas, esto es, y = (3x/ 2) 鈥 (3/ 2) e y = (−2x/ 3) se intersectan se dado como (9/13, −6/13).

Tomamos p卢1卢 para ser el punto de reflexi贸n de a trav茅s de la recta dada. Este punto es sim茅trico respecto a (9/13, −6/13) por lo tanto, podemos escribir que,

Esto produce,

De manera similar, la imagen del vector base resulta ser

Y tenemos la matriz de transformaci贸n lineal final como,

saludos y suerte prof lauro soto


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