Motorola Moto G 4ta Generacion Plus, 5.5", C醡ara 16Mp, 32GB, Procesador Snapdragon 617 Octo-Core, Android Marshmallow 6.0.1, color Negro, Dual SIM, XT1641 Regla De La Cadena

Regla De La Cadena

La Regla de la Cadena

Una funci贸n compuesta es una funci贸n que implica la imposici贸n de una funci贸n a otra funci贸n. Sea f(x) una funci贸n que es diferenciable sea g(x) cualquier otra funci贸n que tambi茅n es diferenciable.

Entonces, al imponer f(x) a g(x) se produce una nueva funci贸n h(x), la cual es una combinaci贸n de las dos funciones diferenciables.

h(x) = f(x) 0 g(x)

Considere una funci贸n, para la cual debe encontrar la derivada, y(x) = (x2 + 4x +5)

Ser铆a bastante f谩cil de encontrar.

Pero si fuese encontrar la derivada de una funci贸n como la siguiente, y(x) = (x3 + 4x +5)60 entonces ser铆a un problema, a pesar de que sus derivadas pueden ser despejadas, pero si existiera una regla que hiciera el problema f谩cil de resolver entonces habr铆a sido mucho m谩s simple.

Para resolver este problema de encontrar las derivadas de una funci贸n compuesta, Leibniz introdujo la regla de la cadena, que ten铆a la intenci贸n de encontrar la derivada de funciones compuestas.

De acuerdo con la regla de la cadena, las derivadas pueden ser consideradas como fracciones a fin de resolver el problema como,

As铆 que la regla de la cadena para la diferenciaci贸n de una funci贸n compuesta es la siguiente,

Vamos a tratar primero de resolver el ejemplo que se ilustra arriba sin la regla de la cadena y despu茅s utilizando la regla de la cadena para entender la diferencia entre ambos m茅todos.

d (x2 + 4x +5)2 / dx

= d(x4+ 8x32 + 26x2 + 40x +25) /dx

= 4x3 + 24 x2 + 52x + 40

La soluci贸n anterior fue realizada sin utilizar la regla de la cadena.

Ahora intentemos solucionarla con la regla de la cadena,

d(x2 + 4x +5)2/ dx

= 2(x2 + 4x +5) * (2x + 4)

= 4x3 + 24 x2 + 52x + 40

Como se puede observar se obtiene la misma respuesta, pero requiere un esfuerzo mucho menor debido a la reducci贸n del c谩lculo envuelto en el enfoque convencional.

Una funci贸n valorada real que tiene s贸lo una variable es la forma m谩s f谩cil de la regla de la cadena, la cual establece que f(x) es una funci贸n que puede ser diferenciada en un punto a y sea g(x) cualquier otra funci贸n que puede ser diferenciada a f(a).

Bajo esta situaci贸n de f(x) 0 g(x) es una funci贸n compuesta que puede ser diferenciada en a.

En los lugares donde las derivadas se calculan directamente, es decir, donde no existe una f贸rmula directa para el c谩lculo de derivadas, la regla de la cadena se puede aplicar con el prop贸sito de hacer un c谩lculo f谩cil.

La regla de la cadena puede aplicarse convenientemente a una funci贸n compuesta donde muchas funciones se imponen sobre otras.

Supongamos que f(x), g(x) y h(x) son tres funciones diferenciables y una funci贸n compuesta a partir de ellas es F(x) = f(x) 0 g(x) 0 h(x) tomadas en el mismo el orden.

En tal situaci贸n, la regla de la cadena se puede aplicar primero calculando las derivadas de f(x) y g (x) 0 h (x) y luego para g(x) y h(x) y, por 煤ltimo, se combinan los resultados. Esto se denomina cascada de la regla de la cadena para funciones compuestas con m煤ltiples funciones.

Algunas de las otras reglas, que se utilizan de forma independiente para los prop贸sitos de c谩lculo, son en realidad procedentes de la regla de la cadena; entre ellas una notable es la regla exponencial.


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