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Propiedades De Los Limites

Propiedades de los límites

Los límites forman una parte fundamental del cálculo en las Matemáticas. De hecho, el primer punto en el concepto del cálculo está marcado por los límites. Los límites pueden ser entendidos fácilmente al observar sus propiedades.

Las Propiedades de los límites implican operaciones que se pueden emplear con el fin de simplificar el límite de una función y convertirlos en una forma mucho más sencilla. Estas propiedades pueden utilizarse con el fin de encontrar los límites de las combinaciones de dos o más funciones o para demostrar si el límite de la función existe o no.

Cuando se trata con la combinaci√≥n de dos o m√°s funciones, por lo general, los l√≠mites de las funciones se calculan individualmente, con la ayuda de estas propiedades, y por √ļltimo combinando estos con el fin de llegar al resultado final.

Estas propiedades expresan que el resultado será el mismo si el límite es tomado primero y después se realiza el álgebra o realizando el álgebra primero y luego tomando los límites.

 Las propiedades de los l√≠mites, tambi√©n conocidas como “Teoremas  De L√≠mite Central “, se pueden establecer como:

1). El l√≠mite de una funci√≥n siempre es √ļnico y es por esta raz√≥n que siempre se refiere a estos como “El L√≠mite” y no simplemente l√≠mite. Esta propiedad b√°sica se puede demostrar como:

Si y, Entonces, L1 = L2

2). El límite de la sumatoria de dos funciones es igual a la suma de los límites de las dos funciones por separado.

 

3). Del mismo modo, el límite de la resta de dos funciones es igual a la resta de los límites de las dos funciones por separado.

4). El caso similar se puede demostrar con la multiplicación, es decir,

5). Para la divisi√≥n, la regla b√°sica es similar a la de la suma y la resta. Sin embargo, en el caso de la divisi√≥n, , esto es, se debe tener cuidado para que el denominador no se convierta en 0 ya que dar√° lugar a un “error cero”.

6). Una constante que se multiplica con el límite, se puede tomar fuera del límite sin afectar el resultado. Es decir,

7). El l√≠mite de un n√ļmero fijo o inmutable es un n√ļmero fijo en s√≠ mismo.

8). El límite global de la proporción (cociente) de dos funciones es la proporción del límite de las dos funciones por separado.

9). Límite de la Función Exponencial: De acuerdo a esta propiedad,

10). Límite de una Función Logarítmica: De acuerdo a ella,

11). Teorema de Estricci√≥n: Considerando el caso f® g® h® para r acercarse a x .Si

Entonces,

Es decir, la funci√≥n g® se dice que esta ‚Äėapretada‚Äô entre f ® y g® y que tienen los mismos l√≠mites.

Los ‚ÄúTeoremas De L√≠mite Central‚ÄĚ tambi√©n son verdaderos para los l√≠mites izquierdos as√≠ como para los l√≠mites derechos.

La aplicación de las propiedades de los Límites se puede ver en el siguiente ejemplo:

Suponga que el límite de la ecuación será encontrado:

Usando la propiedad del cociente, los límites se pueden aplicar al numerador y al denominador por separado, es decir,

De acuerdo a la 5ta propiedad, la constante se puede tomar fuera del alcance del límite

Luego aplicando la propiedad de la sumatoria y separando los límites en dos límites individuales en el denominador, obtenemos

Por √ļltimo, aplicando el valor de los l√≠mites de la ecuaci√≥n correspondiente

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