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Propiedades De La Derivada

Propiedades de las Derivadas

Las derivadas forman una parte importante del c谩lculo.

Hablando en t茅rminos sencillos, la derivada es una medida de la tasa de variaci贸n de la salida de una funci贸n as铆 como var铆a la entrada de la funci贸n.

En base a la definici贸n anterior est谩 claro que la salida de la funci贸n es una funci贸n de la entrada de la funci贸n.

Las derivadas tienen algunas propiedades especiales que son importantes estudiar antes de saltar de lleno en el tema.

Puesto que estas propiedades resuelven los problemas de una manera mejor y m谩s conveniente, con un mejor enfoque hacia el tema.

Algunas de las propiedades m谩s importantes son las siguientes:

1. Si la funci贸n f(x): X → Y es diferenciable en un punto P, entonces se puede concluir que la funci贸n f(x) es continua en el punto p.

2. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones tomadas individualmente. La misma regla aplica tambi茅n para la resta de dos derivadas. Esta regla es m谩s conocida por el nombre de la regla de la linealidad.

3. La derivada de la multiplicaci贸n de una cantidad escalar con una funci贸n es igual a cuando la cantidad escalar se multiplica a la derivada de la misma funci贸n.

4. La derivada de un n煤mero constante es siempre igual a cero.

5. La diferenciaci贸n de una variable con respecto a si misma producir谩 uno.

6. La derivada de la multiplicaci贸n de dos funciones es lo mismo que sumar la multiplicaci贸n de la primera funci贸n con la derivada de la segunda funci贸n y la multiplicaci贸n de la segunda funci贸n con la derivada de la primera funci贸n. Esta regla se conoce m谩s com煤nmente con el nombre de la regla del producto.

7. La derivada de una variable elevada a una potencia es igual a las veces de la potencia de la derivada de la misma variable elevada a una potencia reducida por uno. Esta regla es mejor conocida por el nombre de la regla de la potencia. Es esencial que n sea un n煤mero real para que la propiedad anterior sea cierta.

8. La derivada de la divisi贸n de una funci贸n con alguna otra funci贸n es lo mismo que la divisi贸n de la resta de la multiplicaci贸n de la primera funci贸n con la derivada de la segunda funci贸n y la multiplicaci贸n de la segunda funci贸n con la derivada de la primera funci贸n con el cuadrado de la segunda funci贸n. Aqu铆 el valor de la funci贸n no deber铆a ser igual a cero. Esta regla se conoce por el nombre de la regla del cociente.

9. La regla de la cadena es una propiedad bastante compleja y se utiliza para funciones compuestas; es decir una funci贸n que es impuesta sobre cualquier otra funci贸n. De dos funciones diferenciables g(x) y f(x) que haya en una funci贸n compuesta h(x) se define como,

h(x) = g(f(x)) = (g 0 f)(x)

Para la funci贸n anterior h(x) la derivada puede ser calculada usando la regla de la cadena de la siguiente forma,

La Regla de la cadena s贸lo puede ser usada cuando existen dependencias en cadena en una funci贸n, en otras palabras, para funciones compuestas. Observe un ejemplo resuelto con la regla de la potencia,

d(5x4)/dx = 5[d(x4)/dx]

= 5(4x4−1)

= 5(4x3)

= 204x3

El ejemplo anterior pone de manifiesto que el uso de la propiedad hace el problema mucho m谩s simple de resolver.


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