Propiedades De Integrales Indefinidas

Propiedades De Integrales Indefinidas

En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.

Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.

Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

Ejemplo

Una primitiva de la función \scriptstyle f(x)=\cos(x) en \scriptstyle \mathbb{R}, es la función \scriptstyle F(x)=\sin(x) ya que:

Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendrá un número infinito de primitivas tales como sin(x), sin(x) + 5, sin(x) - 100, etc. Es más, cualquier primitiva de la función f(x) = cos(x) será de la forma sin(x) + C donde C es una constante conocida como constante de integración.

Constante de integración

La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez que se ha encontrado una primitiva F, si se le suma o resta una constante C, se obtiene otra primitiva. Esto ocurre porque (F + C) ‘ = F ‘ + C ‘ = F ‘ + 0 = F ‘. La constante es una manera de expresar que cada función tiene un número infinito de primitivas diferentes.

Para interpretar el significado de la constante de integración se puede observar el hecho de que la función f (x) es la derivada de otra función F (x), es decir, que para cada valor de x, f (x) le asigna la pendiente de F (x). Si se dibuja en cada punto (x, y) del plano cartesiano un pequeño segmento con pendiente f (x), se obtiene un campo vectorial como el que se representa en la figura de la derecha. Entonces el problema de encontrar una función F (x) tal que su derivada sea la función f (x) se convierte en el problema de encontrar una función de la gráfica de la cual, en todos los puntos sea tangente a los vectores del campo. En la figura de la derecha se observa como al variar la constante de integración se obtienen diversas funciones que cumplen esta condición y son traslaciones verticales unas de otras.


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