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Programacion Lineal

Programaci贸n lineal

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La programaci贸n lineal es el campo de la optimizaci贸n matem谩tica dedicado a maximizar o minimizar (optimizar) una funci贸n lineal, denominada funci贸n objetivo, de tal forma que las variables de dicha funci贸n est茅n sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante un sistema de inecuaciones tambi茅n lineales. Los m茅todos m谩s recurridos para resolver problemas de programaci贸n lineal son algoritmos de pivote, en particular los algoritmos simplex.

Historia de la programaci贸n lineal

Cronolog铆a1 A帽o Acontecimiento

1826 Joseph Fourier anticipa la programaci贸n lineal. Carl Friedrich Gauss resuelve ecuaciones lineales por eliminaci贸n “gaussiana”.

1902 Gyula Farkas concibe un m茅todo para resolver sistemas de inecuaciones.

1947 George Dantzig publica el algoritmo simplex y John von Neumann desarroll贸 la teor铆a de la dualidad. Se sabe que Leonid Kantor贸vich tambi茅n formul贸 la teor铆a en forma independiente.

1984 Narendra Karmarkar introduce el m茅todo del punto interior para resolver problemas de programaci贸n lineal.

El problema de la resoluci贸n de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Joseph Fourier, despu茅s de quien nace el m茅todo de eliminaci贸n de Fourier-Motzkin. La programaci贸n lineal se plantea como un modelo matem谩tico desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ej茅rcito y aumentar las p茅rdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificaci贸n diaria.

Los fundadores de la t茅cnica son George Dantzig, quien public贸 el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarroll贸 la teor铆a de la dualidad en el mismo a帽o, y Leonid Kantor贸vich, un matem谩tico de origen ruso, que utiliza t茅cnicas similares en la econom铆a antes de Dantzig y gan贸 el premio Nobel en econom铆a en 1975. En 1979, otro matem谩tico ruso, Leonid Khachiyan, dise帽贸 el llamado Algoritmo del elipsoide, a trav茅s del cual demostr贸 que el problema de la programaci贸n lineal es resoluble de manera eficiente, es decir, en tiempo polinomial.

M谩s tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo m茅todo del punto interior para resolver problemas de programaci贸n lineal, lo que constituir铆a un enorme avance en los principios te贸ricos y pr谩cticos en el 谩rea.

El ejemplo original de Dantzig de la b煤squeda de la mejor asignaci贸n de 70 personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programaci贸n lineal. La potencia de computaci贸n necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignaci贸n es inmensa (factorial de 70, 70!) ; el n煤mero de posibles configuraciones excede al n煤mero de part铆culas en el universo. Sin embargo, toma s贸lo un momento encontrar la soluci贸n 贸ptima mediante el planteamiento del problema como una programaci贸n lineal y la aplicaci贸n del algoritmo simplex. La teor铆a de la programaci贸n lineal reduce dr谩sticamente el n煤mero de posibles soluciones factibles que deben ser revisadas.

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