Proceso De Ortonormalizacion De Gram Schmidt

Base ortonormal, Proceso de ortonormalización de Gram Schmidt

La base es el subconjunto de algún espacio vectorial, tal que este es linealmente independiente y se extiende sobre todos los elementos de ese espacio vectorial. La base ortonormal es un tipo especial de base, la cual es un subconjunto de un tipo especial de espacio vectorial el cual es el producto escalar del espacio vectorial. Antes de ahondar en el tema, primero aclararemos nuestro concepto sobre un conjunto ortonormal.

Sea un V producto escalar de un espacio vectorial, si cada vector par discreto dentro de ese espacio vectorial es ortogonal, entonces podemos definir el espacio vectorial como un conjunto ortogonal. Además, ampliando esta definición, en un conjunto ortogonal si tenemos cada vector con una norma igual a uno, entonces este es definido como conjunto ortonormal. Sea V producto escalar de un espacio vectorial, y tenemos a S como base de ese espacio vectorial dado, entonces, si S es un conjunto ortogonal, entonces lo llamamos una base ortogonal y si S es un conjunto ortonormal entonces lo denominamos una base ortonormal.

Formalmente hablando, una base S del producto escalar de un espacio vectorial V que contiene vectores de la forma v¬1¬, v¬2¬, v¬3¬ … v¬n¬ se define como una base ortonormal si satisface la condición <v¬i¬ . v¬j¬> = 0 donde i no debe ser igual a j. Aquí ‘.’ es el producto escalar del espacio vectorial dado.

Sin embargo no es indispensable que una base ya determinada esté en forma ortogonal. Podemos, si es necesario, transformar la base a la forma ortonormal. El procedimiento para hacerlo se llama proceso de ortonormalización de Gram Schmidt. La entrada del procedimiento es generalmente una base finita y la salida es una base ortonormal definida en algún período arbitrario. El teorema establece “ Para un conjunto k de elementos, el cual es lineal e independiente, es posible construir un conjunto ortonormal, y el conjunto resultante es la agrupación lineal del conjunto de entrada y se extiende sobre el mismo espacio vectorial”.

Es esencial que la base esté ordenada para que sea una base ortonormal. Sea V un producto escalar de un espacio vectorial, y si tenemos a S como la base del espacio vectorial dado que contiene los elementos de la forma v¬1¬, v¬2¬, v¬3¬ … v¬n¬ . Ahora, que tenemos otra base S’, que contiene los elementos de la forma w¬1¬, w¬2¬, w¬3¬ … w¬n¬. Aquí v¬1¬ = w¬¬1¬, entonces,

También podemos afirmar lo definido de una manera inversa diciendo que si S es un subconjunto ortonormal de V que consiste en vectores no cero, entonces podemos decir que S es linealmente independiente.

Si tenemos S como base ortonormal para cualquier producto escalar de un espacio vectorial, entonces por cada elemento en el espacio vectorial dado tenemos,

Aquí x es un vector en el espacio vectorial dado y los coeficientes [x, v¬i¬] son llamados coeficientes de Fourier. Un punto digno de mención es que todos los productos de los espacios vectoriales que tienen tamaño finito, tienen esencialmente una base ortonormal

saludos y suerte prof lauro soto







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