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Problemas De Optimizacion

Problemas de Optimizaci贸n y de Tasas Relacionadas

La optimizaci贸n se refiere al tipo de problema que se ocupa de la determinaci贸n de la forma m谩s apropiada para realizar cierta tarea.

Con el fin de resolver estos problemas, se calculan los valores m铆nimos y m谩ximos de la funci贸n.

Estos incluyen encontrar la distancia m铆nima para llegar a un punto, el costo m铆nimo para hacer determinada operaci贸n, etc.

La funci贸n cuyo m谩ximo o m铆nimo necesita determinase por lo general est谩 sujeta a ciertas restricciones que deben tomarse en cuenta.

Estos problemas son diferentes a los problemas utilizados para encontrarlos valores m铆nimos o m谩ximos locales.

Los Problemas de optimizaci贸n s贸lo se ocupan de los valores m谩ximos o m铆nimos que una funci贸n puede tomar y no del m铆nimo o m谩ximo en un intervalo.

Es decir, la optimizaci贸n busca el m铆nimo o m谩ximo global (absoluto) y no el local.

El m铆nimo o m谩ximo absoluto es el mayor entre el m铆nimo o m谩ximo local, respectivamente.

Puede haber casos, donde el m铆nimo o m谩ximo global no existe para una funci贸n.

En estos el dibujo de la gr谩fica para la funci贸n correspondiente puede ayudar en gran manera.

Hay algunos pasos que deben seguirse con el fin de desglosar un problema de optimizaci贸n:

1) Lo primero y m谩s importante es identificar las variables y constantes de la funci贸n. Esto ayuda a determinar la parte de la funci贸n que ser谩 minimizada o maximizada.

2) Escribir la f贸rmula adecuada para la funci贸n particular, para lo cual tenemos que calcular el m铆nimo o m谩ximo.

3) Ahora, la f贸rmula ser谩 escrita en t茅rminos de una sola variable, es decir, f(r).

4) Establezca la diferenciaci贸n de f(r) a 0, f'(r) = 0, y resuelva a trav茅s de observar todas las limitaciones y otros valores cr铆ticos para encontrar los valores extremos.

Por ejemplo, considere la funci贸n, g(r) = -r2 + 4r 鈥 2.

Y siendo el intervalo en el cual el valor m谩ximo ser谩 encontrado [0, 1].

Calculando g'(r) se obtiene,

g鈥(r) = −2r + 4 = 0

Por lo tanto, 2 viene a ser un valor cr铆tico, luegoreemplazando el 2 en la funci贸n g (2) = 2.

Ahora sustituyendo uno por uno los valores del intervalo en el lugar de r, obtenemos,

g (0) = −2 g (1) = 1

Se puede observar, que el valor m谩ximo de g(r) en [0, 1] es 2.

Un tipo parecido de problema es el problema de las tasas relacionadas.

Se trata de un problema en el que se proporciona la tasa de variaci贸n de al menos una variable de la funci贸n y en el problema se necesita buscar la otra tasa de variaci贸n.

Tambi茅n hay ciertas reglas simples para resolver estos problemas:

Considere que f(a) sea una funci贸n con dos variables a y b, las cuales cambian con el tiempo y la tasa de variaci贸n de a es dada con el tiempo, es decir, .

1) En primer lugar, encontrar la derivada de f(a), es decir, f'(a)

2) Ponga el valor de a en la ecuaci贸n

3) Entonces multipl铆quelo con para obtener

Aplicar las reglas en un ejemplo proporcionar谩 una mejor comprensi贸n:

Suponga que la pregunta dada dice lo siguiente:

Se est谩 bombeando aire a un globo esf茅rico de 4 cm de radio a 5 cm3 / seg.

Entonces,el ritmo de cambio del radio del globo necesita ser calculado.

Se puede observar que el radio y el volumen son las variables de las funciones correspondientes.

es dada y es igual a 5 cm3/seg y necesita encontrarse.

Como V= 4 r3 / 3.

Diferenciando ambos lados, se obtiene .

Ahora sustituyendo el valor de en esta ecuaci贸n, se obtiene cm /seg.


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