Potencias Y Extraccion De Raices De Un Numero Complejo

Potencias Y Extraccion De Raices De Un Numero Complejo

Teorema De Moivre, potencias y extracción raíces de a un número complejo

La multiplicación de dos números complejos se realiza mediante la operación de multiplicación en los respectivos módulos, esto es r y realizando la operación de adición en el componente angular, este es . Si en algún momento deseas encontrar el cuadrado de un número complejo, en otras palabras, realizar la multiplicación de dos números complejos, los cuales son de hecho iguales, entonces obtendríamos algo como:

r x r = r2

Esto es, por la multiplicación de los módulos obtenemos r2 y por la suma de los dos componentes angulares obtenemos .

Sin embargo, ahora escribimos el número complejo en su forma polar y realizamos la operación de multiplicación, entonces obtendríamos algo así,

[r (cos + i sin )] x [r (cos + i sin )] = r2 (cos 2 + i sin 2 )

De la misma forma, al aumentar el número complejo al exponente tres, tendríamos que realizar la operación de multiplicación en los números complejos, los cuales son iguales. Esto es obtenemos términos como los siguientes,

r x r x r = r3

Y para la forma polar, los términos serían,

[r (cos + i sin )] x [r (cos + i sin )] x [r (cos + i sin )] = r3 (cos 3 + i sin 3 )

Y esto se sigue repitiendo. Todo lo que podemos decir es que existe un patrón fijo el cual se puede notarse con claridad por los ejemplos anteriores, al elevar un numero complejo a algunos exponentes, estamos de hecho elevando el término módulo de ese exponente y el componente angular es, incluso, multiplicado por el número de ese exponente. En forma breve podemos concluir que, [r (cos + i sin )]n = [rn (cos n + i sin n )]

Llamamos a este teorema, el teorema De Moivre. Este teorema es usualmente utilizado para la determinación de las potencias de cualquier número complejo, ya que permite de manera fácil cumplir con el propósito sin la necesidad de hacer ningún tipo de cálculo complejo.

Si podemos cuadratizar un número complejo, encontrar su cubo o aumentarlo a cualquier potencia, de la misma manera podemos extraer sus raíces. Sin embargo, esto es un poco diferente a la extracción de raíces en los números reales. Para determinar la raíz de un número complejo, todo lo que tenemos que hacer es ir a por la técnica de ingeniería inversa, esto es moverse en la dirección inversa a la determinación de la potencia de un número complejo.

El procedimiento consiste simplemente en dividir el exponente de los módulos por el número de grado de la raíz y hacer lo mismo con el coeficiente del componente angular. Es decir, si tenemos que encontrar la nt raíz de un número complejo, entonces divide el exponente del módulo por n y divide el coeficiente por n.

  = rn/n  

O para la forma polar del número complejo, podemos escribirlo como,

[rn (cos n + i sin n )] = [rn/n (cos (n/n) + i sin (n/n) )]

saludos y suerte prof lauro soto


Mis sitios nuevos:
Radio MiTecnologico Emprendedores
Politica de Privacidad