Operaciones Con Matrices

Operaciones Con Matrices

Operaciones con Matrices

Una matriz de tamaño m × n sobre un campo K, donde m y n son enteros positivos, es una matriz con m filas y n columnas, donde cada entrada es un elemento de K. Para 1 \leq i \leq m y 1 \leq j \leq n, la entrada en la fila i y la columna j de A está denotado por Ai j, y es referida como la entrada (i, j) de A.

Definimos la suma y la multiplicación de matrices de la siguiente manera.

(a) Sean A y B matrices del mismo tamaño m × n en K. Entonces, la suma de A + B se define mediante la adición de las entradas correspondientes: (A+B)i j = Ai j +Bi j.

(b) Sea A una matriz m × n y B una matriz n× p en K. Entonces, el producto AB es la matriz m × p cuya entrada (i, j) se obtiene multiplicando cada elemento de la fila ith de A por el elemento correspondiente en la columna jth de B y en la sumatoria:

(AB)ij = Página 16

Sólo podemos sumar o multiplicar matrices si sus tamaños satisfacen las condiciones adecuadas. En particular, para un valor fijo de n, podemos sumar y multiplicar matrices n×n . Resulta que el conjunto Mn(K) de las matrices n×n sobre K es un anillo con identidad. La matriz nula, lo cual se denota por O, es la matriz con entradas cero, mientras que la matriz identidad, que se denota por I, es la matriz con entradas de 1 en la diagonal principal y 0 en cualquier otro lugar. Toma en cuenta que la multiplicación de matrices no es conmutativa: BA no suele ser igual a AB.

Operaciones de fila y columnas

Dada una matriz A m × n sobre un campo K, definimos ciertas operaciones en A llamadas operaciones fila y columna.

Operaciones elementales de fila: Existen tres tipos: Tipo 1: Agrega un múltiplo de la fila jth al ith, donde j /neq i. Tipo 2: Multiplica la fila ith por un escalar distinto de cero. Tipo 3: Intercambia las filas ith y jth , donde j /neq i.

Operaciones elementales de columna: Existen tres tipos:

Tipo 1: Agrega un múltiplo de la columna fila jth al ith, donde j /neq i.

Tipo 2: Multiplica la columna ith por un escalar distinto de cero.

Tipo 3: Intercambia de la columna ith y jth , donde j /neq i.

Mediante la aplicación de estas operaciones, podemos reducir cualquier matriz a una forma particularmente simple: Sea A una matriz m × n sobre el campo K. Entonces es posible cambiar A en B mediante operaciones elementales de fila y columna, donde B es una matriz de igual tamaño satisfaciendo Bii = 1 para 0 \leq i /neq r, para r /neq min {m,n}, y todas las demás entradas de B son cero.

 Si A puede ser reducida a dos matrices tanto B y B0 , de la forma anterior, donde el número de elementos distintos de cero son r y r0 , respectivamente, por diferentes secuencias de operaciones elementales, entonces r = r0, y por lo tanto, B = B0.

El número r en el teorema anterior se llama rango de A; mientras que una matriz de la forma descrita para B, se dice que está en la forma canónica de la equivalencia.

saludos y suerte prof lauro soto


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