Numeros Complejos

Numeros Complejos

Números Complejos

Los números complejos son aquellos números que están compuestos por una parte real y una imaginaria. Estos números elaboran el concepto recta numérica 1-D hacia el plano complejo 2D con la ayuda de una recta numérica para trazar la parte real del número y para sumar el eje vertical a fin de mostrar la parte imaginaria.

Por lo tanto, en naturaleza los números complejos contienen los números reales extendidos, lo cual resulta útil al resolver un problema que podría ser difícil si utilizáramos solamente los números reales.

La aplicación de números complejos está incluida en una amplia gama desde el electromagnetismo, la ingeniería, las matemáticas aplicadas, la física cuántica, hasta la teoría del caos.

La idea principal detrás del uso de los números complejos es resolver las ecuaciones correspondientes que no tienen ninguna solución real. Ejemplo: Imaginemos la ecuación .

Dado que la variable x es cuadrada, no puede ser negativa o cero y, por tanto, la ecuación correspondiente no tiene ninguna solución real.

Estos tipos de problemas pueden resolverse con la ayuda de los números complejos.

La idea principal es introducir la variable compleja ‘i’ cuyo valor después de elevarse al cuadrado es −1. Por lo tanto, x = -i y x = I son las dos soluciones correspondientes de la ecuación.

Ahora definamos el concepto. Se puede definir un número complejo como una expresión del tipo: aquí b y a son la parte real del número, mientras que I es la parte imaginaria.

La parte real e imaginaria se denota en general como Re(z) and Im(z) respectivamente.

Incluso un número real normal puede ser considerado como un número complejo que no tiene su parte imaginaria o cuya parte imaginaria es igual a 0. Es decir, a + 0i.

Con el fin de ver el número complejo, se utiliza un diagrama de Argand o el plano complejo.

Sin embargo, sólo puede verse en forma de un vector de posición o un punto. En el plano complejo, la parte real del número complejo se traza en la parte horizontal, mientras que la parte imaginaria se traza en el eje vertical.

Un vector de posición consta de dirección y magnitud. Existen ciertas operaciones que pueden realizarse en los números complejos. Estas son:

1). Conjunción: Para una expresión de la forma z = x + yi, el conjugado se representa como x − yi. Generalmente, el conjugado del número se representa como.

lo cual significa que la Z es “reflejada” de acuerdo al eje real.

2). Suma y Resta: La suma al igual que la resta de números complejos se realiza sumando o restando las partes reales e imaginarias por separado. Esto es, para la suma:

Asimismo, para la resta:

3). Multiplicación: En el caso de la multiplicación, la fórmula se convierte en:

4). Raíz cuadrada: En la raíz cuadrada, la expresión a + bi puede escribirse de la forma:

. Aquí, y

y sgn denota la función signo. La forma se conoce como el módulo de la expresión a + bi donde la raíz cuadrada que consiste de la parte real positiva se denomina principio de la raíz cuadrada.

Saludos y suerte prof lauro soto


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