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Medicion Aproximada De Figuras Amorfas

Medida Aproximada de Figuras Amorfas

Calcular las áreas de una figura regular es una tarea muy fácil, por lo cual la sustitución de la longitud, anchura u otras cantidades en la fórmula produciría el resultado.

Sin embargo, la estimación del área bajo la curva de las funciones no es tan sencilla ya que existen figuras amorfas y no fórmulas directas para estimaresta área.

La integración puede ser utilizada fructíferamente en una situación semejante.

Existen cuatro gr√°ficas posibles para las cuales el √°rea necesita ser evaluada.

Estas son: 1 Cuando el √°rea est√° limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b.

El gráfico de la función se muestra a continuación,

Para estimar el √°rea de tal figura, considereque el √°rea bajo la curva est√°compuesto por un gran n√ļmero de delgadas tiras verticales.

Suponiendo que hay una tira arbitraria y para la altura y una dxpara la anchura. El área de esta tira elemental sería, dA = y dx donde y = f(x)

El área total A de la región entre el eje x, la ordenada x = a y x = b y la curva y = f (x) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o la zona limitada.

Esto produce la fórmula, A = dA = y dx = f(x) dx La integral anterior puede ser evaluada mediante poner la función en su lugar e integrándola.

2 La segunda situación es cuando el área está delimitada por la curva x = g(y), el eje y, y las ordenadas y = y1 y y2 = y. La gráfica de la función se muestra a continuación,

Asuma que el √°rea bajo la curva est√° compuesta de un gran n√ļmero de tiras delgadas horizontales. Sea una tira arbitraria dypara la altura y xpara la longitud. El √°rea de esta tira elemental ser√≠a, dA = x dy donde x = g(y)

El área total A de la región entre el eje x, la ordenada y = y1 y y2 = y, y la curva x = g(y) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o el área limitada. Esto produce la fórmula, A = dA = x dy = g(y) dy

3 Se presenta una tercera situación cuando la curva en cuestión se encuentra por debajo del eje x, entonces f(x) es menor que cero desde x = a hasta x = b, el área limitada por la curva y = f(x) y las ordenadas x = a y x = b, y el eje x es negativo.

Pero el valor numérico del área debe ser tomado en consideración,entonces

A = | f(x) dx|

4 Una √ļltima posibilidad ser√≠a que una parte de la curva est√© por encima del eje x y otra parte est√© por debajo del eje x. Sea A1 el √°rea debajo del eje x y A2 el √°rea por encimadel eje x. Por lo tanto, el √°rea limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b ser√°n,

A = |A1| + A2

Tomemos ahora un ejemplo para entender la solución de tales problemas,

Encuentre el área de la región limitada por la curva y2 = x y las rectas x = 1, x = 4 y por el eje x.

La curva y2 = x es una parábola con su vértice en el origen. El eje de x es la línea de simetría la cual es el eje de la parábola. El gráfico de la función dada sería,

El área de la región limitada es,

A = y dx = dx = 2/3 [x3/2]14 = 2/3 [43/2 ‚Äď 13/2] = 2/3 [8 ‚Äď 1] = 14/3

Saludos y suerte prof lauro soto


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