Matrices Y Determinantes

Matrices Y Determinantes

Matrices y determinantes

Una matriz es simplemente una ordenación rectangular de números reales. Una matriz m × n es una matriz ordenada con m filas y n columnas, tales como

Si m = n, decimos que A es cuadrada de grado n. El conjunto de todas las matrices m × n con entradas reales se denota por Rm×n.

Resulta ser muy útil introducir la suma y la multiplicación en las matrices.

La adicion de la matriz (o, simplemente, la suma) A + B de dos matrices m × n, A y B se define siendo la matriz m × n C tal quecij = aij +bij para todos los pares de índices (i, j).

El múltiplo escalar αA de A para un número real α es la matriz obtenida de la multiplicación de cada entrada de A por α.

Tomemos un ejemplo donde

A = y B =

Entonces, sumando las dos matrices, obtenemos

A + B =

Duplicando A, tenemos

2A =

La matriz m × n, donde todas sus entradas son iguales a cero, se denomina matriz nula.

Si O es la matriz nula m × n y A es cualquier matriz m × n, entonces A + O = A. Así O es la identidad aditiva de la suma de matrices.

Ahora que la identidad aditiva de la suma de matrices está definida, podemos observar que la matriz -A es el inverso aditivo de A, en el sentido que A + (-A) = (-A) + A = O.

Una matriz columna es llamada sencillamente un vector. El conjunto de todas las matrices columna n × 1 (o vectores) se denota por Rn.

Después que una matriz está expresada en forma reducida, se puede leer en su rango (el número de filas nulas).

Un sistema no homogéneo tiene solución si y sólo si su matriz el coeficiente de su matriz aumentada y el coeficiente de la matriz tienen el mismo rango.

Existe una solución única si y sólo si la coeficiente de su matriz aumentada y el coeficiente de la matriz tienen el mismo rango y el rango es el número de incógnitas.

Los determinantes tienen una larga historia en las matemáticas porque dan una expresión explícita para la solución de un sistema no singular de n ecuaciones con n variables.

El determinante de una matriz cuadrada A es un escalar fundamental asociado a A, con una larga historia matemática.

El primer encuentro de muchos estudiantes con este fue con la regla de Cramer, que tiene como un caso especial, la fórmula para el inversa de A.

El determinante parece haber aparecido en un artículo que Leibniz publicó, en 1683, y desde entonces ha tenido una larga y distinguida lista de aplicaciones.

Sea F denotado como un campo arbitrario, y asume que A Fn×n. A es un det escalar (A) F denominado determinante de A. Este escalar tiene una serie notable de propiedades .

1). det (AB) = det (A) det (B), y

2). det (In) = 1.

Más aún, si E es una matriz elemental, entonces:

3). det (E) = −1 si E se obtiene encajando dos filas de In;

4). det (E) = r si E se obtiene multiplicando alguna fila de In por r; y

5). det (E) = 1 si E se obtiene añadiendo un múltiplo de alguna fila de In por otra fila.

Las siguientes propiedades del det (A) son consecuencia de las (1) a (5). (6) = ad - bc.

7). det (A) 6= 0 si y sólo si A es invertible

8). det (AT ) = det(A).

9). Si A es triangular superior, entonces det (A) = a11 • • • ann. Es decir, el det (A) es el producto de las entradas diagonales de A.

saludos y suerte prof lauro soto


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