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Matrices Y Determinantes

Matrices y determinantes

Una matriz es simplemente una ordenaci贸n rectangular de n煤meros reales. Una matriz m 脳 n es una matriz ordenada con m filas y n columnas, tales como

Si m = n, decimos que A es cuadrada de grado n. El conjunto de todas las matrices m 脳 n con entradas reales se denota por Rm脳n.

Resulta ser muy 煤til introducir la suma y la multiplicaci贸n en las matrices.

La adicion de la matriz (o, simplemente, la suma) A + B de dos matrices m 脳 n, A y B se define siendo la matriz m 脳 n C tal quecij = aij +bij para todos los pares de 铆ndices (i, j).

El m煤ltiplo escalar αA de A para un n煤mero real α es la matriz obtenida de la multiplicaci贸n de cada entrada de A por α.

Tomemos un ejemplo donde

A = y B =

Entonces, sumando las dos matrices, obtenemos

A + B =

Duplicando A, tenemos

2A =

La matriz m 脳 n, donde todas sus entradas son iguales a cero, se denomina matriz nula.

Si O es la matriz nula m 脳 n y A es cualquier matriz m 脳 n, entonces A + O = A. As铆 O es la identidad aditiva de la suma de matrices.

Ahora que la identidad aditiva de la suma de matrices est谩 definida, podemos observar que la matriz -A es el inverso aditivo de A, en el sentido que A + (-A) = (-A) + A = O.

Una matriz columna es llamada sencillamente un vector. El conjunto de todas las matrices columna n 脳 1 (o vectores) se denota por Rn.

Despu茅s que una matriz est谩 expresada en forma reducida, se puede leer en su rango (el n煤mero de filas nulas).

Un sistema no homog茅neo tiene soluci贸n si y s贸lo si su matriz el coeficiente de su matriz aumentada y el coeficiente de la matriz tienen el mismo rango.

Existe una soluci贸n 煤nica si y s贸lo si la coeficiente de su matriz aumentada y el coeficiente de la matriz tienen el mismo rango y el rango es el n煤mero de inc贸gnitas.

Los determinantes tienen una larga historia en las matem谩ticas porque dan una expresi贸n expl铆cita para la soluci贸n de un sistema no singular de n ecuaciones con n variables.

El determinante de una matriz cuadrada A es un escalar fundamental asociado a A, con una larga historia matem谩tica.

El primer encuentro de muchos estudiantes con este fue con la regla de Cramer, que tiene como un caso especial, la f贸rmula para el inversa de A.

El determinante parece haber aparecido en un art铆culo que Leibniz public贸, en 1683, y desde entonces ha tenido una larga y distinguida lista de aplicaciones.

Sea F denotado como un campo arbitrario, y asume que A Fn脳n. A es un det escalar (A) F denominado determinante de A. Este escalar tiene una serie notable de propiedades .

1). det (AB) = det (A) det (B), y

2). det (In) = 1.

M谩s a煤n, si E es una matriz elemental, entonces:

3). det (E) = −1 si E se obtiene encajando dos filas de In;

4). det (E) = r si E se obtiene multiplicando alguna fila de In por r; y

5). det (E) = 1 si E se obtiene a帽adiendo un m煤ltiplo de alguna fila de In por otra fila.

Las siguientes propiedades del det (A) son consecuencia de las (1) a (5). (6) = ad - bc.

7). det (A) 6= 0 si y s贸lo si A es invertible

8). det (AT ) = det(A).

9). Si A es triangular superior, entonces det (A) = a11 鈥 鈥 鈥 ann. Es decir, el det (A) es el producto de las entradas diagonales de A.

saludos y suerte prof lauro soto


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