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Longitud De Curvas

Longitud de la Curva
 Determinar la longitud de una l铆nea recta es una tarea relativamente f谩cil, pero si tenemos que determinar la longitud de una curva entonces necesitamos la ayuda de la integraci贸n. 

Es conocida por nombres como integral de l铆nea, integral curvil铆nea, integral de caminos o integral de contorno.

Aqu铆 el prop贸sito de la integraci贸n es la evaluaci贸n de una funci贸n determinada a lo largo de la curva de la funci贸n.

Ambos, campos escalares o campos vectoriales se pueden integrar de esta manera.

La integraci贸n completa producir铆a la suma del valor de cada campo en cada punto que se encuentre sobre la curva de la funci贸n dada, lo cual es ponderado por el valor de cualquier funci贸n.

Esta suele ser una funci贸n escalar.

Considere una funci贸n continua,sea y = f(x) tal que la funci贸n y su derivada son continuas en un intervalo cerrado [p, q].

Para la estimaci贸n de la longitud del arco de dicha funci贸n, considere la peque帽a parte ds de la curva correspondiente.

Por el Teorema dePit谩goras, obtenemos

ds2 = dy2 + dx2

Llevando dx2 al otro lado

ds2 / dx2 = 1 + dy2 / dx2

ds2 / dx2 = 1 + (dy / dx) 2

ds / dx =

ds = dx

Ahora tomando la antiderivada de la ecuaci贸n anterior, obtenemos

Puede existir el caso, cuando la curva es definida en su forma param茅trica, es decir, x = x (t) y y = y (t).

La f贸rmula integral correspondiente para la soluci贸n de tales formas es la siguiente:

El tercer caso es cuando la ecuaci贸n de la funci贸n se describe en forma polar, esto es, r = f ( ), en ese caso, la longitud del arco se puede encontrar por:

Existe otra manera de despejar las f贸rmulas correspondientes para el c谩lculo de la longitud del arco. De acuerdo con esta, suponga que longitud del arco de la funci贸nf(x) ser谩 determinado.

Para encontrar la longitud del arco (denotadocomo S) en medio de los puntos b y a, una serie de tri谩ngulo rect谩ngulo se construye de manera que la hipotenusa del tri谩ngulo cubra el arco correspondiente cuya longitud ser谩 determinada. Para simplificar, la base del tri谩ngulo se consideraΔx tal que existe una y correspondiente para cada Δx.

Ahora seg煤n el teorema de Pit谩goras, obtenemos

Longitud de la Hipotenusa =

La longitud total de todas las hipotenusas da el valor aproximado de S. Esto es,

Ahora, cuando el radicando es multiplicado por , obtenemos

Por tanto, la S puede ser modificada

Mientras menor sea el valor de Δx, m谩s precisa ser谩 la aproximaci贸n. Tenemos S, cuando el l铆mite de Δxse mueve hacia 0.Esto es,

Vamos a considerar un ejemplo en el que la ecuaci贸n de la curva se da como x = cos (a), y = sin(a), donde 0 ≤ a ≤ 2π.

Diferenciando x e y, obtenemos

dx / da = - sin (a) y dy / da = cos (a)

Ahora, elevando al cuadrado y sumando ambos lados

(dx / da)2 + (dy / da)2 = sin2 (a) + cos2 (a) = 1

Por tanto, S = 1 da

S = 2π.


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