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Limite De Una Sucesion

L铆mites de una Sucesi贸n

El l铆mite de una sucesi贸n particular es generalmente un n煤mero o un punto definido L, con la condici贸n que todos los t茅rminos de esa sucesi贸n particular est茅n muy cerca de L para grandes cifras de n. En caso de que el l铆mite est茅 presente, se dice entonces que la sucesi贸n es convergente y converge en el punto definido L. En el caso complementario, se dice que la sucesi贸n es divergente.

Matem谩ticamente la definici贸n puede ser demostrada suponiendo an} sea la sucesi贸n y l un n煤mero real. Si por cada ε › 0 entonces encontramos m N, tal que , n N, es l y se escribe an=l. Esto se lee como: Como n tiende al infinito, tiende a l.

Ademas, si para una sucesi贸n an se podemos encontrar un numero M positivo, tal que, | an | M n N entonces la sucesi贸n { an } se dice que es cerrada.

Similarmente, las sucesiones pueden estar creciendo o decreciendo.

Algunas de las propiedades generales de los L铆mites de una Sucesi贸n incluyen:

1).Los L铆mites de las sucesiones de origen convergentes son 煤nicos.

2). Una sucesi贸n de origen convergente es siempre cerrada y viceversa.

3). En el caso de las sucesiones {an} n 1, junto con {bn} n 1 son de origen convergente y x e y son n煤meros reales, en ese caso, la sucesi贸n { xan + ybn }n 1 es tambi茅n convergente.

4). Similarmente, si las sucesiones {an} n 1 junto con {bn} n 1 son de origen convergente y x e y son n煤meros reales, en ese caso, la sucesi贸n { xan . ybn }n 1 es tambi茅n convergente. Obtenemos,

  { an . bn }=    an  .    bn 

5). En el caso de la sucesi贸n {an}, n 1 tiene un origen convergente con la condici贸n que an 0 y an 0 para n 1, entonces la secuencia del tipo es tambi茅n convergente.

Los l铆mites de las sucesiones est谩ndares pueden ser 煤tiles para facilitar el c谩lculo. Algunos de estos son:

1). = 0

2). = 0 | r | < 1.

3). = 0 donde sn = a + ar + ar2 + 鈥..+ Este l铆mite es conocido como serie infinita geom茅trica con el primer t茅rmino 鈥渁鈥 y la raz贸n com煤n 鈥渞鈥.

Para captar efectivamente el concepto de las propiedades y las caracter铆sticas de los l铆mites de sucesiones, observemos un ejemplo en el que se requiere demostrar que para un n煤mero x, donde 0 <x <1

  xn = 0

Dado que 0 < x < 1, por tanto la sucesi贸n xn es cerrada y decreciente. De acuerdo a la segunda propiedad citada arriba, esta es convergente. Entonces,

  xn = L

Por lo tanto, tenemos que demostrar L = 0

Como, xn+1 es parte de la sucesi贸n xn , entonces, xn+1 = L

Ahora, dado que xn+1 = x xn

De las propiedades citadas,

  xn+1 = x.    xn

  L = x. L

Ahora bien, como x 0, entonces, L =0.

Saludos y suerte prof lauro soto


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