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Limite De Una Funcion De Variable Real

Límite de una función de variable real

El l√≠mite de una funci√≥n de variable real es un concepto importante en el c√°lculo. Seg√ļn este, si F es la funci√≥n de una variable real r, en ese caso, el l√≠mite de F como r se aproxima a x existe, si existe otro n√ļmero real R entonces para un n√ļmero positivo conocido , existe otro n√ļmero delta, tal que | F® - N | ‹ para todo r que satisfaga | r - x | < . Esto es,

 y   son letras de Grecia utilizadas tradicionalmente, a las cuales se les llama como descripción de límites épsilon-delta.

Puede ser el caso cuando la función F satisface \ limita_{r\a\x} la definición en una sola dirección en la recta numérica real. Suponga que satisface la existencia de límites desde la izquierda. En ese caso, puede ser representada como

Este caso puede ser le√≠do como ‚Äėla existencia de l√≠mites del lado izquierdo‚Äô. Del mismo modo, los l√≠mites del lado derecho pueden ser demostrados como

Sin embargo, no se puede decir que el límite existe enteramente hasta que ambos límites de lado izquierdo y derecho persistan y se conviertan iguales.

Mientras se resuelve un problema “ l√≠mite de una funci√≥n de variable real “ se debe hacer √©nfasis principalmente en el c√°lculo del rango del l√≠mite y no en identificar si el l√≠mite existe o no.

El l√≠mite de una funci√≥n de variable real se puede definir en el infinito si la recta num√©rica es considerada extensible. Si F® es la funci√≥n, entonces, el l√≠mite infinito de F se puede representar como

Existen algunas propiedades que valen la pena considerar mientras se trata con el concepto de límite de la función de variable real F:

1). El límite de F se dice que existe cuando los límites del lado derecho y del lado izquierdo existen para la función correspondiente.

2). Se dice que F es continua en un punto particular A solo si en el caso el límite F( r ) como r se mueve hacia A subsiste y es equivalente a f(A).

3). Si el l√≠mite de la funci√≥n F® como r se mueve hacia A es L1 y el l√≠mite de otra funci√≥n H® como r se mueve hacia A es L2, entonces, el l√≠mite de F® + H® como se mueve hacia A es L1 + L2.

4). El límite de F debe ser compatible con las operaciones aritméticas con la condicionante que el límite del lado derecho exista.

La definici√≥n y sus propiedades pueden ser m√°s profundamente ilustradas con la ayuda de un ejemplo. Consideremos una funci√≥n F® =

La función puede ser simplificada como:

       F® = (r + 2) (r - 2) 
                      (r ‚Äď 2)

   F® = r + 2, r   2

Es decir la línea r + 2 con el punto ( 2, 4 ) son los puntos faltantes.

Se puede observar que r = 2 no se encuentra en el dominio de F y 4 no est√° en el rango correspondiente. Por lo cual, al poner r cerca del 2, obligar√° a F hasta el punto (2, 4). Esto es,

De acuerdo a la definici√≥n, si un n√ļmero real es dado, entonces se necesita encontrar otro n√ļmero , tal que, < . Entonces, este puede ser probado como:

      Si | r −2 | <  

         2+   < r < 2 -  

    2 -   + 2< r + 2 < 2 +   + 2

    4 -   < r + 2 < 4 +  

    4 -  < r + 2 < 4 +   

    |(r + 2) - 4| <  

Saludos y suerte prof lauro soto


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