Inversa De Una Matriz Cuadrada a Traves De La Adjunta

Inversa De Una Matriz Cuadrada a Traves De La Adjunta

Inverso de la matriz cuadrada por la matriz conjugada transpuesta

El transpuesto conjugado es una operación básica que sólo puede realizarse en una matriz compleja, que es aquella matriz cuyas entradas son números complejos. También es llamada por el nombre de conjugada hermitiano o transposición de Hermítica. En este procedimiento, primero se toma el transpuesto de la matriz dada y luego se deriva el conjugado complejo de todos los elementos de la matriz dada.

El conjugado complejo es una operación en la cual mantenemos intacto la parte real del número complejo y neutralizamos la parte imaginaria del número complejo.

Por ejemplo, tenemos que el número complejo dado es x + iy, entonces el conjugado complejo del número es dado como x - iy, y si el número complejo dado es x - iy, entonces el conjugado complejo de la misma se da como x + iy.

El nombre de la operación se mantiene con el procedimiento, el cual es seguido de derecha a izquierda, donde primero se transpone y luego se conjuga.

El notación convencional de la operación puede darse como,

La barra en la parte derecha denota la operación como una escalar del conjugado complejo. Aquí AH es la matriz hermética de la matriz actual.

Ahora, la matriz dada puede ser de la forma de una matriz fila o de una matriz columna o una matriz cuadrada o cualquier otra cosa.

Aquí nos concentraremos en el caso de que la matriz dada sea una matriz cuadrada. Entonces,

En el diagrama anterior, det significa determinante de la matriz, y traza significa traza y −1 denota la operación inversa.

Antes de entrar en detalles es importante entender el procedimiento inverso de la transposición de una matriz.

La transposición de una matriz inversa de una matriz dada se determina, en primer lugar obteniendo la transposición de una matriz y luego invertiendo el resultado obtenido.

Este procedimiento también se puede aplicar a una matriz compleja.

Digamos por ejemplo, que se nos da una matriz cuadrada compleja, entonces el conjugado transpuesto funciona de la misma manera como se ha mencionado anteriormente.

Esto significa, que si realizamos la operación de transposición conjugada en una matriz cuadrada, entonces estamos determinando la transposición inversa de la matriz actual.

Veamos un ejemplo para entender a profundidad este procedimiento. Digamos que tenemos una matriz cuadrada compleja de orden 3 x 3 como,

Para determinar el conjugado complejo de esta matriz, primero debemos buscar la transposición de esta matriz. Por lo tanto, la transposición de esta matriz es representada como,

Ahora, invierte la parte imaginaria de cada uno de los elementos de la matriz anterior, es decir, realiza la operación del conjugado complejo de los elementos de la matriz anterior. La matriz resultante es representada como,

Esta es la respuesta necesaria. Finalmente para obtener el inverso de esta matriz cuadrada es necesario buscar el inverso de cada uno de los números complejos en la matriz.

Un punto muy interesante sobre la matriz conjugada compleja es que todos los elementos que están sobre la diagonal del transpuesto conjugado de la matriz son imaginarios puros, donde su parte real está ausente o es cero o son iguales a cero.

saludos y suerte prof lauro soto


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