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Introduccion a Las Transformaciones Lineales

Introducci贸n a las transformaciones lineales

La transformaci贸n lineal es una funci贸n utilizada para la asignaci贸n de un espacio vectorial a otro espacio vectorial con la ayuda de los escalares, la cual satisface la expresi贸n f(a*x+b*y) =a*f(x)+b*f(y).

En otras palabras, se consideran 2 espacios vectoriales, V y W. Una transformaci贸n lineal es una gr谩fica T: V→ W que satisface dos condiciones:

1). T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) donde v1 y v2 son vectores en V. 2). T (xV) = x T (v) donde x es una escala

Una transformaci贸n lineal puede ser sobreyectiva o inyectiva. En el caso que, W y V tengan dimensiones id茅nticas, entonces T puede llegar a ser invertible, esto es, se encuentra T-1 el cual satisface la condici贸n TT-1 = I. Asimismo, T (0) ser谩 siempre 0.

La teor铆a de la matriz entra en la teor铆a de las transformaciones lineales porque es posible representar cada transformaci贸n lineal como matriz. La multiplicaci贸n de matrices puede considerarse como el ejemplo principal que puede demostrar el concepto de transformaci贸n lineal. Una matriz A de dimensi贸n n x m define que T (v) = Av y aqu铆 v es representado como un vector columna. Veamos un ejemplo:

Aqu铆, la transformaci贸n lineal t es definida como T (x, y) = (y, −2x + 2y, x). En el caso que, V y W sean de dimensi贸n finita, la transformaci贸n lineal est谩 mejor representada con la multiplicaci贸n de matrices en lugar de estableciendo la base del espacio vectorial, tanto para W y V. En el caso que, W y V incluyan un producto escalar y tambi茅n los espacios vectoriales correspondientes y que W y V sean ortonormales, ser谩 simple representar la matriz correspondiente como .

Mientras que w y v son de dimensi贸n infinita, la transformaci贸n lineal puede ser continua. Por ejemplo, considera que un espacio polin贸mico de 1 variable sea v y T una derivada. Entonces, T (xn) = nxn-1, una no continua como xn/n = 0 mientras que T (xn)/n no converge.

El resultado de la suma de 2 o m谩s transformaciones lineales, la multiplicaci贸n de una transformaci贸n lineal por n煤mero particular, y la multiplicaci贸n de 2 transformaciones lineales, son siempre transformaciones lineales. Una transformaci贸n lineal en la cual su identidad es descrita en el espacio euclidiano siempre es auto-adjunta en el caso de que la matriz A correspondiente sea sim茅trica en cualquier base ortonormal. Una transformaci贸n lineal que es auto-adjunta y se describa en una dimensi贸n finita unitaria, el espacio (euclidiano) contiene una base ortonormal en la cual su matriz lleva una forma diagonal.

Existen dos espacios fundamentales que est谩n asociados a una transformaci贸n lineal: su kernel ker(T) y su imagen im(T). El kernel y la imagen de una transformaci贸n lineal T corresponden con el espacio nulo y el espacio de la columna de cualquier matriz que represente a T.

En un sistema lineal, el n煤mero de variables es igual al n煤mero de variables libres m谩s el n煤mero de variables angulares, quedando una transformaci贸n lineal final T: V→ W en la identidad dim V = dim ker(T) dim im(T). Si dim ker(T) = 0 y dim im(T) = dimW, entonces t esta sobre y uno a uno. En este caso, esto se denomina un isomorfismo.

saludos y suerte prof lauro soto


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