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Interpretacion Geometrica De Las Soluciones

Interpretaci贸n geom茅trica de las soluciones

Un sistema de ecuaciones diferenciales son aquellas que tienen varias posibilidades para su soluci贸n. Estas son:

1. Soluci贸n 煤nica: S贸lo es posible obtener una soluci贸n 煤nica para un sistema de ecuaciones lineales intersectado en un 煤nico punto determinado, por lo tanto, el sistema de ecuaciones donde tenemos todas las rectas entrecruz谩ndose en un solo punto, se denomina como la soluci贸n 煤nica del sistema de ecuaciones. Ese sistema de ecuaciones lineales es llamado sistema de ecuaciones lineales consistente independiente. Gr谩ficamente se representa,

2. Sin soluci贸n: Es posible que un sistema de ecuaciones lineales no tenga soluci贸n cuando ningunas de sus rectas se intersectan entre s铆 ni siquiera en el infinito, ya que s贸lo el punto de intersecci贸n es la soluci贸n para el sistema de ecuaciones lineales Esto s贸lo puede ocurrir en el caso de las rectas paralelas, por lo tanto, para un sistema con este tipo de ecuaci贸n tenemos varias ecuaciones que corresponden a la misma recta y que s贸lo difieren por la pendiente. Dicho sistema se denomina sistema de ecuaciones lineales inconsistente independiente. Gr谩ficamente podemos representarlo como,

3. Infinitas soluciones: S贸lo en la situaci贸n que las rectas de determinado sistema se encuentren unas con otras en un punto infinito, podemos obtener soluciones infinitas. Esto s贸lo puede suceder si todas las rectas son la misma recta, ya que es en este escenario que se superpondr谩n unas con otras d谩ndonos puntos infinitos de intersecci贸n, es decir, infinitas soluciones. Este sistema es llamado sistema de ecuaciones lineales consistente dependiente. Gr谩ficamente podemos representarlo como,

Con la ayuda de un ejemplo, vamos a entender las diversas soluciones posibles.

Si tenemos un sistema de ecuaciones lineales dado como,

y = 3x 鈥 2 y = -x 鈥 6

La representaci贸n gr谩fica de las ecuaciones puede darse como,

Ya sabemos que en el caso de una sola recta, todos los puntos que intersecten con esa recta son llamados soluci贸n de la ecuaci贸n, sin embargo al tratar con un sistema de ecuaciones, la situaci贸n es diferente. En tal situaci贸n para que un punto sea la soluci贸n del sistema de ecuaci贸n dado, necesita estar sobre cada recta definida en el sistema de ecuaci贸n dado. Por lo tanto, si nos fijamos en el diagrama siguiente,

el punto resaltado con color rojo no puede considerarse como una soluci贸n, ya que no se encuentra en ninguna de las rectas definidas en el sistema de ecuaciones.

Tampoco podemos considerar el punto resaltado en color azul como la soluci贸n, ya que se encuentra en una sola recta y no en la otra, por lo tanto, puede considerarse como la soluci贸n para la recta y =-x - 6, pero no la del sistema dado.

Finalmente, el punto destacado en el color p煤rpura es la soluci贸n del sistema de ecuaci贸n, ya que est谩 en ambas rectas definidas para el sistema dado. Tambi茅n 茅sta es la soluci贸n 煤nica del sistema dado, porque ambas l铆neas no se intersectan en alg煤n otro punto. Por tanto, llamamos a este sistema un sistema de ecuaciones lineales consistente independiente.

saludos y suerte prof lauro soto


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