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Integrales Indefinidas Por Sustitucion Trigonometrica

Integrales Indefinidas por Sustituci贸n Trigonom茅trica

La sustituci贸n de las funciones de trigonometr铆a por alguna funci贸n algebraica se conoce como sustituci贸n trigonom茅trica.

Existen ciertas funciones para las cuales otras sustituciones no funcionan dado que podr铆an transformar toda la expresi贸n en una forma a煤n m谩s cr铆ptica.

Algunos de estos ejemplos pueden ser resueltos por las sustituciones trigonom茅tricas a lugar.

Es muy importante identificar el tipo de integrandos donde hacer una sustituci贸n trigonom茅trica esla mejor opci贸n.

Por lo general las expresiones que pueden representar los lados de un tri谩ngulo, y debido a esto, el teorema de la hipotenusa puede mantenerse cierto, pueden ser sustituidas por una funci贸n trigonom茅trica.

Tambi茅n es importante estar al tanto de las identidades y f贸rmulas trigonom茅tricas para poder resolver estos problemas. Por ejemplo para una funcion tal que,

Un error com煤n que la gente comete cuando observa las integrales de este tipo es reemplazar 9 - x2 por alguna variable lo que es una suposici贸n err贸nea.

Tambi茅n podemos ver que existe una expresi贸n de ra铆z cuadrada en el integrando la cual podr铆a resultar tediosa de resolver, por tanto su eliminaci贸n ser铆a una buena elecci贸n.

Como podemos ver en la figura anterior la expresi贸n de la base del tri谩ngulo es representada por y x representa la altura del tri谩ngulo. Por tantouna sustituci贸n trigonom茅tricaser铆a una mejor opci贸n. Supongamos ahora

sin = x/ 3 utilizando laf贸rmula sin = longitud del tri谩ngulo dividido por la hipotenusa del tri谩ngulo

	x = 3 sin  	鈥 (1)

El valor de puede ser deducido usando la formula = arcsin (x/ 3)

Ahora diferenciando la ecuaci贸n n煤mero (1) obtenemos

 dx = 3 cos d

 = 3 cos

 Ahora el nuevo integrando se convierte

 Simplificando esta obtenemos

 Finalmente nos da + c como respuesta.

Es esencial que antes de uno proceder con la soluci贸n, sea dibujado un bosquejo aproximado de los lados del tri谩ngulo para que en ning煤n paso ocurra una sustituci贸n incorrecta. Adem谩s, si el valor de x es igual a cero o el valor de es igual a cero entonces tal tri谩ngulo no puede existir.

Un conjunto general de las sustituciones que se utilizan para sustituciones trigonom茅tricas son las siguientes,

es sustituido asumiendo que x = p sin

es sustituido asumiendo que x = p tan

es sustituido asumiendo que x = p sec

Estas son sustituciones est谩ndares que pueden ser tomadas como normas para la sustituci贸n trigonom茅trica.

En el caso que la variable sea precedida por un t茅rmino coeficiente, entonces ese coeficiente pasa a ser el denominador del t茅rminoconstante que precede a la funci贸n trigonom茅trica en el lado derecho.

Si tenemos alg煤n tipo de expresi贸n cuadr谩tica bajo la ra铆z cuadrada entonces convertir esta en un cuadrado perfecto debe ser el primer paso para la soluci贸n del problema.

Vale la pena saber que s贸lo en los casos donde el denominador no produce una ra铆z real, podemos usar una funci贸n tangente como sustituci贸n.

Sin embargo, hacerque una funci贸n trigonom茅trica sustituya una funci贸n algebraica no es la 煤nica soluci贸n, el problema tambi茅n puede resolverse utilizando las reglas simples de integraci贸n, ya que existen muchas maneras de resolver un integrando espec铆fico.

Saludos y suerte prof lauro soto


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