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Integrales Indefinidas Por Partes

Integraci贸n Indefinida por Partes

La mayor铆a de las veces la gente intenta usar las f贸rmulas de integraci贸n de la suma o la resta de dos funciones para el producto de dos funciones, lo cual sin embargo produce resultados err贸neos dado que esta no es la t茅cnica correcta. Como ejemplo,

Un error com煤n cometido por las personas que observan una expresi贸n de este tipo ser铆a,

El cual es sin embargo un enfoque equivocado.

Para entender el concepto suponga que f(x) es x y g(x) es 1.

En tal escenario la integraci贸n de 1 producir铆a x lo cual no es correcto.

Para resolver una ecuaci贸n de este tipo, se utiliza la t茅cnica de la integraci贸n por partes.

Como es conocido la integraci贸n es la t茅cnica inversa de la diferenciaci贸n; la integraci贸n por partes es la t茅cnica inversa de la regla del producto de la diferenciaci贸n.

La f贸rmula general para la integraci贸n por partes,

Esta f贸rmulapodr铆a confundirlo. As铆 que para entender el concepto detr谩s de la formulaci贸n de esta f贸rmula observe la regla del producto de la diferenciaci贸n escrita a continuaci贸n,

De la expresi贸n anterior se puede deducir que,

Ahora bien, si una de las dos expresiones puede ser resuelta con facilidad, entonces podr铆a ser utilizada para deducir la otra tambi茅n, lo cual constituye la base para la formulaci贸n de la t茅cnica de integraci贸n por partes.

La Integraci贸n por partes se desarrolla de la siguiente manera,

1 Trace las dos funciones primarias para el integrando dado, esto es f(x) yg(x). En caso que no exista una segunda funci贸n primaria, seaestag(x) no es real asumirla como una.

2 Ahora las funciones secundarias se colocar谩n en el lugar de las primarias como se describe a continuaci贸n,

y

3 Luego integre cualquiera de las dos funciones y diferencie la otra funci贸n. Cualquiera de las dos pueden ser integradas o diferenciadas.

4 Ahora aplique la f贸rmula de integraci贸n por partes como,

Esto puede parecer bastante confuso y un ejemplo ilustrativo ser铆a de mucha ayuda.

	 ln(x) dx

Dado que s贸lo una de las funciones primarias est谩 ah铆 se puede asumir que la segunda es 1.

Ahora sea ln (x) = u y 1.dx = dv.

Luego diferenciando la primera funci贸n e integrando la segunda obtenemos,

du = 1 / x dx

v = x

	Colocando los valores anteriores en la expresi贸n real tenemos que,
	 ln(x) dx = x * ln(x) -  x * 1 / x dx
	  x * 1 / x dx = dx
	 x + c
	 Por tanto la soluci贸n final es x * ln (x) - x + c

En la pr谩ctica, los integrandos que sondif铆ciles para ser integrados directamente se transforman de forma que el m茅todo de integraci贸n por partes se pueda aplicar para hacerlos m谩s f谩cil de integrar.

Sin embargo, es muy importante una elecci贸n correcta de la funci贸n a ser integrada y diferenciad asi no se efect煤a de esta forma es posible que el integrando se vuelva a煤n m谩s cr铆ptico que antes.

Otra raz贸n para que la integraci贸n por partes falle ser铆a que algunas de las transformaciones de los integrandos causenque el integrando original aparezca de nuevo.

Tambi茅n para algunas funciones, puede ser necesario realizar el mismo procedimiento en n repetidas ocasiones lo cual hace que todo el proceso sea a煤n m谩s complejo. Un ejemplo de tal integrando es,

Saludos y suerte prof lauro soto


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