Integrales Indefinidas Por Fracciones Parciales

Integrales Indefinidas Por Fracciones Parciales

Integración Indefinida por Fracciones Parciales

Un polinomio general, que está en términos defracciones, puede ser dividido en varios polinomios en cascada, de tal manera que si todos estos son reunidos de nuevo formarían el polinomio original nuevamente. Este es el concepto detrás del método de integración por fracciones parciales. Por lo general los integrandos que se encuentran en la forma de expresiones racionales son evaluados a través de este método rompiendo el integrando a través de sucesivas adiciones y restas a la inversa.

A las expresiones de descomposición fraccional de la expresión real se les conoce como sus fracciones parciales. Este método también es utilizado de forma muy importante en las transformaciones de Laplace. También transforma los integrandos en formas mucho más simples lo cual hace que la evaluación sea realizada con mucha facilidad.

Después de la descomposición, todas las fracciones parciales poseen una expresión polinómica de primer grado o de segundo grado en su denominador.

En el caso de una expresión racional compleja, el denominador poseeúnicamente expresiones polinómicas de primer grado.

Sin embargo, este método sólo es aplicable si podemos descomponer el denominador del integrando real.

Hay ciertas reglas cuyo conocimiento es esencial antes de aplicar este método, estas son:

1 Para descomponer un integrando en sus fracciones parciales, asegúrese que el denominador del integrando es de al menos un grado más alto que el numerador.

2 Existe una fracción parcial para todos los factores de descomposición del denominador de la expresión real, existe una fracción parcial como,

Donde (ax + b) es una de las fracciones parciales.

3 Ampliando la regla anterior, si para algún integrando el denominador produce un factor lineal equivalente para m número de veces, y entonces tenemos m fracciones parciales para ese mismo factor lineal incrementando su grado desde uno hasta m.

4 En caso que el denominador del integrando posea una ecuación cuadrática, entonces la fracción parcial será de la forma,

En resumen, las reglas para la integración de una expresión racional utilizando el método de fracciones parciales son las siguientes:

Aquí A, B ó C en las expresiones anteriores son términos constantes cuyos valores se obtienen a través de la solución de problemas y entonces se colocan en la expresión de integración. Para la existencia de estos términos constantes para cualquier expresión racional de la forma a(x)/ b(x) las dos condiciones siguientes siempre deben ser ciertas: 1. a(x) y b(x) deben ser únicamente expresiones polinómicas.

2. El grado del numerador debe ser al menos menor en uno en comparación con el de grado de su denominador.

Este método podría parecer un poco confuso para usted y por tanto, un ejemplo ilustrativo sería de mucha ayuda para usted.

El denominador del problema anterior puede ser descompuesto como (x + 3) (x - 3). Entonces el integrando se convierteahoraa,

2x + 3/ (x + 3) (x – 3)

Se puede descomponer en sus fracciones parciales posteriores como, [(A/ x + 3) + (B/ x – 3)].

Lo que resulta en A(x – 3) + B(x + 3) = 2x + 3.

Resolviendo la expresión anterior al reemplazar los valores de x por+3 y −3 obtenemos los valores de A y B como ½ y 3/2, respectivamente.

El integrando obtenido es [(1/2/ x + 3) + (3/2/ x – 3)].

½ ln |x + 3| + 2/3 ln |x – 3|.

Saludos y suerte prof lauro soto


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