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Integrales Indefinidas Por Fracciones Parciales

Integraci贸n Indefinida por Fracciones Parciales

Un polinomio general, que est谩 en t茅rminos defracciones, puede ser dividido en varios polinomios en cascada, de tal manera que si todos estos son reunidos de nuevo formar铆an el polinomio original nuevamente. Este es el concepto detr谩s del m茅todo de integraci贸n por fracciones parciales. Por lo general los integrandos que se encuentran en la forma de expresiones racionales son evaluados a trav茅s de este m茅todo rompiendo el integrando a trav茅s de sucesivas adiciones y restas a la inversa.

A las expresiones de descomposici贸n fraccional de la expresi贸n real se les conoce como sus fracciones parciales. Este m茅todo tambi茅n es utilizado de forma muy importante en las transformaciones de Laplace. Tambi茅n transforma los integrandos en formas mucho m谩s simples lo cual hace que la evaluaci贸n sea realizada con mucha facilidad.

Despu茅s de la descomposici贸n, todas las fracciones parciales poseen una expresi贸n polin贸mica de primer grado o de segundo grado en su denominador.

En el caso de una expresi贸n racional compleja, el denominador posee煤nicamente expresiones polin贸micas de primer grado.

Sin embargo, este m茅todo s贸lo es aplicable si podemos descomponer el denominador del integrando real.

Hay ciertas reglas cuyo conocimiento es esencial antes de aplicar este m茅todo, estas son:

1 Para descomponer un integrando en sus fracciones parciales, aseg煤rese que el denominador del integrando es de al menos un grado m谩s alto que el numerador.

2 Existe una fracci贸n parcial para todos los factores de descomposici贸n del denominador de la expresi贸n real, existe una fracci贸n parcial como,

Donde (ax + b) es una de las fracciones parciales.

3 Ampliando la regla anterior, si para alg煤n integrando el denominador produce un factor lineal equivalente para m n煤mero de veces, y entonces tenemos m fracciones parciales para ese mismo factor lineal incrementando su grado desde uno hasta m.

4 En caso que el denominador del integrando posea una ecuaci贸n cuadr谩tica, entonces la fracci贸n parcial ser谩 de la forma,

En resumen, las reglas para la integraci贸n de una expresi贸n racional utilizando el m茅todo de fracciones parciales son las siguientes:

Aqu铆 A, B 贸 C en las expresiones anteriores son t茅rminos constantes cuyos valores se obtienen a trav茅s de la soluci贸n de problemas y entonces se colocan en la expresi贸n de integraci贸n. Para la existencia de estos t茅rminos constantes para cualquier expresi贸n racional de la forma a(x)/ b(x) las dos condiciones siguientes siempre deben ser ciertas: 1. a(x) y b(x) deben ser 煤nicamente expresiones polin贸micas.

2. El grado del numerador debe ser al menos menor en uno en comparaci贸n con el de grado de su denominador.

Este m茅todo podr铆a parecer un poco confuso para usted y por tanto, un ejemplo ilustrativo ser铆a de mucha ayuda para usted.

El denominador del problema anterior puede ser descompuesto como (x + 3) (x - 3). Entonces el integrando se convierteahoraa,

2x + 3/ (x + 3) (x 鈥 3)

Se puede descomponer en sus fracciones parciales posteriores como, [(A/ x + 3) + (B/ x 鈥 3)].

Lo que resulta en A(x 鈥 3) + B(x + 3) = 2x + 3.

Resolviendo la expresi贸n anterior al reemplazar los valores de x por+3 y −3 obtenemos los valores de A y B como 陆 y 3/2, respectivamente.

El integrando obtenido es [(1/2/ x + 3) + (3/2/ x 鈥 3)].

陆 ln |x + 3| + 2/3 ln |x 鈥 3|.

Saludos y suerte prof lauro soto


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