Motorola Moto G 4ta Generacion Plus, 5.5", C醡ara 16Mp, 32GB, Procesador Snapdragon 617 Octo-Core, Android Marshmallow 6.0.1, color Negro, Dual SIM, XT1641 Integrales Indefinidas Con Cambio De Variable

Integrales Indefinidas Con Cambio De Variable

Integrales Indefinidas con Cambio de Variable

La integraci贸n mediante el cambio de variable o por sustituci贸n se encuentra entre uno de los m茅todos de integraci贸n m谩s poderosos.

Es conocido por todos que la integraci贸n es el proceso contrario de la diferenciaci贸n, en esta perspectiva la integraci贸n con cambio de variable es el proceso contrario de la diferenciaci贸n llevada a cabo a trav茅s de regla de la cadena.

La integraci贸n a trav茅s de la sustituci贸n se realiza cuando el integrando dado es de la forma,

Es decir se nos provee una funci贸n primaria y el integrando es el producto de la derivada de esta funci贸n primaria y funci贸n de esta funci贸n primaria.

Sin embargo, no siempre es el caso que el integrandoseadado directamente en la forma que podamos aplicar directamente la regla de la sustituci贸n, hay situaciones en las que primero tenemos que modificar el integrando dado de tal manera que podamos aplicar la f贸rmula de sustituci贸n.

Los pasos para realizar el m茅todo de sustituci贸n para las integrales indefinidas son los siguientes.

1 Identificar la funci贸n primaria g(x).

En caso que el integrando no pueda ser sustituido directamente realice una serie de multiplicaciones y divisiones o recurra a otros m茅todos para convertirloen la forma deseada.

2 Sustituya la funci贸n primaria g(x) por alguna variable, digamos a,

3 Esta diferenciaci贸n producir铆a

4 Sustituya estos valores en la expresi贸n real para modificar el integrando como,

5 En caso de que la variable original todav铆a exista en el integrando, entonces sencillamenteusamos la definici贸n de a desde el paso inicial para la variable real en t茅rminos de la nueva variable.

6 Finalmente integre este integrando.

7 Despu茅s de obtener la antiderivada de este integrando, sustituya la variable original en la antiderivada obtenida.

Puede parecer que los pasos para la realizaci贸n de este m茅todo son los mismos tanto para la integraci贸n indefinida como para la definida, pero existe fina diferencia entre los dos que es esencialentender.

Primeramente en el caso de una integraci贸n definida una cosa importante a tener en cuenta es cambiar el l铆mite superior, as铆 como el l铆mite inferior de integraci贸n.

Esto se hace porque se han sustituido las variables del integrando y por lo tanto los l铆mites de integraci贸n tienen que ser redefinidos en consecuencia de los nuevos l铆mites de integraci贸n.

En segundo lugar, en el caso de la integraci贸n indefinida, tenemos que volver a colocarde nuevola variable originalpara el integrando de manera que la soluci贸n final sea en t茅rminos de la variable real.

Mientras que para la integraci贸n definidaponemos al final los valores del l铆mite superior e inferior en la expresi贸n para obtener la respuesta num茅rica.

Observemos ahora un ejemplo ilustrativo para aclarar los conceptos.

	 18×5 (x3 鈥 5)4 dx

Sea a = (x3 鈥 5)4

da = 3×2 dx

dx = da/3×2

  18×5 (x3 鈥 5)4 da/ 3×2

  6×2 (x3 鈥 5)4 da

 6×2 a4 da

6(a +5) a4 da

(6a5 + 30 a4) da

a6 + 6a5 + c

(a + 6) a5 + c

(x3 鈥 5 + 1) (x3 鈥 5)5 + c

(x3 + 1) (x3 鈥 5)5 + c

En el ejemplo anterior fueron empleadas varias transformaciones para obtener la forma deseada del integrando.

De manera similar otros problemas pueden ser resueltos, sin embargo para cada problema puede ser necesaria una t茅cnica distinta para obtener el integrando deseado.

Saludos y suerte prof lauro soto


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