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Independencia Lineal

Combinaci贸n lineal. Independencia lineal

En las Matem谩ticas generales, el t茅rmino combinaci贸n lineal se refiere a una expresi贸n desarrollada a partir de un conjunto de t茅rminos espec铆ficos, despu茅s de la multiplicaci贸n de cada t茅rmino del conjunto por una constante en particular, y posteriormente mediante la suma del resultado.

La forma b谩sica de la combinaci贸n lineal es ax + by. Aqu铆 tanto a como b son t茅rminos constantes particulares. La Combinaci贸n Lineal constituye el concepto b谩sico del 谩lgebra lineal.

Entendamos la definici贸n de una manera m谩s precisa. Considere el campo K y el espacio vectorial V, que est谩 sobre K. Suponga que v1 …. vn son vectores juntos con a1鈥n los cuales son escalares. Por lo tanto, la combinaci贸n lineal de los vectores es:

Podr铆a darse el caso que uno se confunda con el significado b谩sico de 鈥淐ombinaci贸n lineal鈥, es decir, si la Combinaci贸n Lineal es un valor o una expresi贸n. Puede verse que en la mayor铆a b谩sicamente el concepto se refiere a un valor, aunque de vez en cuando se trata como una expresi贸n.

Otro concepto importante que est谩 m谩s o menos relacionado con la Combinaci贸n Lineal es la Independencia Lineal. Una familia de vectores se dice que es linealmente independiente cuando ninguno de ellos puede ser escrito con t茅rminos de combinaci贸n lineal dentro de la variedad de los vectores del conjunto.

La definici贸n m谩s formal y precisa de la Independencia Lineal supone que V denota un espacio vectorial no necesariamente de dimensi贸n finita en un campo arbitrario F.

Antes de definir la noci贸n de la dimensi贸n V, primero debemos introducir algunas nociones preliminares, a partir de la Independencia Lineal.

De manera informal situamos que, un conjunto de vectores son linealmente independientes si ninguno de ellos puede expresarse como una Combinaci贸n Lineal de los otros.

En otras palabras, dos vectores son linealmente independientes cuando no se encuentran en la misma l铆nea a trav茅s del origen y tres vectores son independientes cuando no se encuentran en el mismo plano a trav茅s del origen.

Veamos una definici贸n m谩s profunda de este concepto.

Si w1. wk est谩n en V. Decimos que w1. . . wk son linealmente independientes (simple o independiente) si y solo si la combinaci贸n a1w1 + a2w2 + 鈥 鈥 鈥 + akwk = 0, con a1, a2, . . . , ak F es

una combinaci贸n trivial a1 = a2 = 鈥 鈥 鈥 = ak = 0. Si la ecuaci贸n a1w1 + a2w2 + 鈥 鈥 鈥 + akwk = 0 tiene una soluci贸n en la que algunos ai 0, decimos que w1. . , son linealmente independientes (simple o independiente).

Tambi茅n diremos que un subconjunto finito S de V es independiente si los vectores contenidos en S son independientes.

Por ejemplo: Supongamos que queremos saber que si los vectores (1, 1) y (−3, 2) son linealmente independientes o no.

Comencemos esta prueba simple: Considere que λ1 y λ2 to son dos n煤meros reales que satisfacen (1, 1) λ1 + (−3, 2) λ2 = (0, 0).

Simplificando las coordenadas individualmente, obtenemos

λ1 鈥 3 λ2 = 0

λ1 + 2 λ2 = 0

Al resolverlo, obtenemos λ1 = 0 y λ2 = 0

saludos y suerte prof lauro soto


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