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Funcion Inyectiva

Funci贸n Inyectiva, Funci贸n Sobreyectiva y Funci贸n Biyectiva

Las funciones pueden ser clasificadas principalmente en tres categor铆as basadas en como las im谩genes y los argumentos est谩n asignados, a saber en otra funci贸n injectiva, funci贸n sobreyectiva y funci贸n biyectiva.

Una funci贸n inyectiva, tambi茅n llamada funci贸n uno a uno, es aquella que conserva la distinci贸n, es decir, no asigna los distintos elementos en su dominio al mismo elemento en su co-dominio. En otras palabras, podemos decir que hay una asignaci贸n uno a uno entre los elementos del dominio y el co-dominio de una funci贸n. A la luz de la declaraci贸n anterior, podemos concluir que hay una salida diferente para cada entrada de la funci贸n.

La notaci贸n utilizada para representar una funci贸n inyectiva es la flecha con cola de pescado, es decir, f: A> B, donde f es una funci贸n de A a B. Tal funci贸n asegura una imagen diferente para cada elemento en el dominio de la funci贸n. Sin embargo, en algunos casos, un elemento en particular en el rango de la funci贸n puede tener m煤ltiples pre- im谩genes.

En t茅rminos matem谩ticos, una funci贸n inyectiva es una funci贸n f: A  B, donde ning煤n elemento de B es la imagen de dos o m谩s elementos diferentes de A bajo f. En terminolog铆a gr谩fica, si la curva que representa la funci贸n es cortada por cualquier l铆nea horizontal al menos una vez, entonces tal funci贸n es llamada funci贸n inyectiva.

Una funci贸n sobreyectiva, tambi茅n conocida con el nombre de sobre funci贸n, es aquella en la cual podemos obtener todos los n煤meros en el co-dominio de la funci贸n por la aplicaci贸n de la correspondencia / funci贸n f a un n煤mero en el dominio de la funci贸n. En tal escenario, pueden existir varios elementos en el dominio de la funci贸n que se asignen al mismo elemento en el co-dominio de la funci贸n.

En t茅rminos matem谩ticos, una funci贸n sobreyectiva es una funci贸n f: A  B donde el rango de la funci贸n es igual al co-dominio de la funci贸n. En general, una funci贸n con rango R y co-dominio B posee la propiedad de que R es subconjunto de B.

Por lo tanto, con el fin de demostrar que una funci贸n es una funci贸n sobreyectiva, debemos probar que B es un subconjunto de R. Con este fin uno puede tomar arbitrariamente cualquier elemento del co-dominio y demostrar que este existe como la imagen de alg煤n elemento en el dominio de la funci贸n.

En el ejemplo anterior la funci贸n f(x) existe para valores positivos lo que implica que el rango de la funci贸n es mayor que cero, por tanto se puede concluir que el rango y el co-dominio son iguales. Entonces podemos decir que la funci贸n es sobreyectiva.

Una funci贸n biyectiva es aquella que es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva, es decir, es una combinaci贸n de los dos tipos de funciones mencionadas anteriormente. Una funci贸n biyectiva es aquella en la que tenemos un solo elemento en el dominio de la funci贸n para cada elemento en el co-dominio de la funci贸n, lo que implica que f(x) = y, donde x ε X (dominio de la funci贸n) y y ε Y (co-dominio de la funci贸n).

A la luz de la declaraci贸n anterior se concluye que no puede existir ning煤n elemento sin asignar ya sea en el dominio o en el co-dominio. Observe un ejemplo resuelto para un mejor entendimiento, La funci贸n f es definida como f: N  N (donde N es un conjunto de n煤meros naturales) y f(x) = x+2. 驴Es esta funci贸n sobreyectiva? Soluci贸n:

        Dado que, N = {1, 2, 3, 4…} y  X = Y = N
       Para: X  Y
        Donde x = 1                f(x) = 3
        Donde x = 2                f(x) = 4

Entonces f(x) nunca toma el valor de 1 y 2. Por lo tanto, Y tiene dos elementos que no poseen pre-imagen en X. Lo que significa que esta no es una funci贸n sobreyectiva.

Saludos y suerte prof lauro soto


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