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Funcion Implicita

Funci贸n impl铆cita

Una funci贸n f: X y es llamada funci贸n impl铆cita, si la variable dependiente no se produce de forma expl铆cita, en un lado de la ecuaci贸n, en t茅rminos de la variable independiente. En una funci贸n impl铆cita, el valor de y puede ser obtenido resolviendo la ecuaci贸n en t茅rminos de x.

 La ecuaci贸n polin贸mica, conteniendo los t茅rminos tanto de x e y son muy dif铆ciles de resolver. Si la ecuaci贸n no se resuelve para y, entonces y se llama una funci贸n impl铆cita en t茅rminos de x, y tal ecuaci贸n se denomina funci贸n impl铆cita. Una funci贸n impl铆cita es generalmente de la forma,

Una funci贸n impl铆cita tambi茅n se conoce como un conjunto de nivel de cualquier funci贸n en t茅rminos de dos variables. Fuera de esas dos variables, una de ellas se puede determinar con la ayuda de otra variable. Pero no existe ninguna f贸rmula espec铆fica para determinar una variable en t茅rminos de otra variable.

Las funciones impl铆citas y las funciones expl铆citas est谩n relacionadas entre s铆 con la ayuda del teorema de la funci贸n impl铆cita. Seg煤n este teorema, si la funci贸n impl铆cita satisface algunas de las condiciones, aunque levemente, sobre sus derivadas parciales entonces es posible resolver esta funci贸n para determinar el valor de y, al menos para un rango peque帽o.

Si nos fijamos en la gr谩fica de una funci贸n impl铆cita, nos encontrar铆amos con que su gr谩fica se superpone con la gr谩fica de la funci贸n f(x) = y, localmente.

Para tener una mejor comprensi贸n, veamos el ejemplo dado a continuaci贸n,

Aqu铆 x es una funci贸n impl铆cita en t茅rminos de y, tambi茅n y es una funci贸n impl铆cita en t茅rminos de x. Para resolver la ecuaci贸n para la variable y, la ecuaci贸n se convertir铆a,

En la ecuaci贸n anterior, y es la funci贸n expl铆cita de x. En el pen煤ltimo ejemplo era f谩cil resolver la ecuaci贸n para y en t茅rminos de x, pero hay ocasiones en que la funci贸n dada es mucho m谩s compleja y no se puede resolver f谩cilmente.

Una manera m谩s simple y conveniente para resolver tal funci贸n es utilizar el m茅todo de diferenciaci贸n. Primeramente, diferencie la funci贸n dada que producir谩 la derivada dy/dx 贸 dx/dy, dependiendo de la variable que se considere impl铆cita. Ahora resuelva para esta derivada.

Existen muchos m谩s m茅todos para solucionar la funci贸n impl铆cita, algunos de los cuales son iterativos. Aunque los m茅todos iterativos producen mejores resultados que los no iterativos en sus aproximaciones sucesivas, se utilizan en raras ocasiones debido a la complejidad que implica el uso de dichos m茅todos.

Al contrastar el n煤mero de ecuaciones (m) en el sistema con el n煤mero de variables (n), se puede adquirir informaci贸n b谩sica acerca de ese conjunto de nivel.

鈥 Si n> m entonces existen infinitas soluciones del sistema de ecuaciones. Dicho sistema tambi茅n se denomina indeterminado.

鈥 Si n = m, entonces tenemos una 煤nica soluci贸n a nivel local para el sistema de ecuaciones y la ecuaci贸n se puede determinar con exactitud. Esto significa que si tenemos x como la soluci贸n de la ecuaci贸n entonces no existe ninguna otra soluci贸n para la ecuaci贸n cerca de x.

	鈥 Si n <m entonces no existe  soluci贸n para el sistema de ecuaciones. Este sistema es tambi茅n llamado sobredeterminado. 

Saludos y suerte prof lauro soto


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