Forma Polar Y Exponencial De Un Numero Complejo

Forma Polar Y Exponencial De Un Numero Complejo

Forma polar y exponencial de los números complejos

Un número complejo se representa generalmente en forma rectangular, es decir, en la forma de a + bi. De esta forma, a es considerada como el ancho del rectángulo, y b como la altura del mismo. Sin embargo, los números complejos también pueden expresarse en forma polar o exponencial. La forma polar se expresa como r θ y generalmente se leído r en un ángulo θ.

‘r’ denota la magnitud de los números complejos y representa la distancia de los números del origen cuando se toman en el sentido de las manecillas del reloj, a través del lado no negativo del eje real.

Ahora veamos la conversión de la forma polar a la rectangular:

Las fórmulas utilizadas para estas conversiones son:

Y a la inversa, la conversión de rectangular a polar:

Estas fórmulas se pueden utilizar.

Ahora, veamos las operaciones de multiplicación y división en la forma polar:

Regla de la multiplicación: En la multiplicación de dos números complejos, las respectivas magnitudes y los ángulos son sumados.

Regla de la División: En ella, las magnitudes se dividen y los ángulos se restan con el fin de encontrar el cociente.

Aparte de la forma polar y rectangular, los números complejos también pueden representarse en forma exponencial. Esto es en la forma r e i θ. Aquí ‘e’ es el exponente y tiene un valor igual a 2.71828….

En esta definición, el valor de r es igual que en el anterior, este es el valor absoluto o módulo y define el componente angular del número el cual es midido en términos de radianes. Esta forma de escribir un número complejo, aunque es similar a la de la forma polar, es aún más concisa que esta. En primer lugar tenemos que entender el concepto detrás de la formulación de este tipo de números complejos.

Sabemos, que las series de cos x y sen x pueden escribirse como,

cos x = 1 – (x2/ 2) + (x4/ 4) - …

sin x = x – (x3/ 3) + (x5/ 5) - …

Ya sabemos que en la forma polar un número complejo se escribe como [r (cos + i sin )]. Imaginemos que el valor de r es 1, por lo tanto, nos quedamos con cos + i sin . Por lo tanto, lo ampliamos utilizando la fórmula anterior como,

cos + i sin = 1 + i - ( 2/ 2) – (i 3/ 3) + ( 4/ 4) + ( 5 / 5)

Ahora, tenemos la serie ex como,

ex = 1 + x + (x2/ 2) + (x3/ 3) + (x4/ 4) + …

Ahora, sustituye i por x y tenemos,

Y la forma simplificada viene siendo,

Por lo tanto, podemos decir que,

cos + i sin =

De hecho, es más conveniente trabajar en la forma exponencial que en la forma polar, ya que la solución de los problemas en la forma polar requieren la suma de los componentes angulares y también la multiplicación de la longitud, lo cual obviamente es bastante tedioso.

Pasemos a convertir la forma polar en una forma exponencial a través de un ejemplo.

5 (cos 1350 + i sin 1350)

Sabemos que, 10 = / 180 1350 = 135 / 180

 = 3 / 4
 = 2.36 radianes

5 (cos 1350 + i sin 1350) =

saludos y suerte prof lauro soto


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