Espacio Vectorial Con Producto Interno

Espacio Vectorial Con Producto Interno

Espacios vectoriales

Siempre que se utiliza el término “espacio” en un contexto matemático, se refiere a un espacio vectorial, es decir, real o n-espacio complejo

el espacio de funciones continuas en la recta, el espacio de operadores lineales adjuntos y así sucesivamente.

Por lo tanto, es un hecho innegable, que este tema tiene su propia importancia en el campo de las matemáticas.

Fijaremos el espacio vectorial de una manera más amplia, con una definición que contiene todos los conceptos relacionados.

Sea F un campo y V un conjunto. Supongamos que hay una operación binaria sobre V llamada adición, la cual asigna a cada par de elementos a y b de V una suma única a + b V.

Imagina también, que hay una segunda operación, llamada multiplicación escalar, que asigna a cualquier r F y a cualquier 2 V, un múltiplo escalar único ra V .

 Supongamos que tanto la suma como la multiplicación escalar satisfacen los siguientes axiomas:

(1) La suma de los vectores es conmutativa. Es decir, a + b = b + a para todo a, b V.

(2) La suma de los vectores es asociativa. Es decir, (a + b) + c = a + (b + c) para todo a, b, c V.

(3) Existe una identidad aditiva 0 V de manera que 0 + a = a para todos los a V.

(4) Para todo a V, 1a = a, donde 1 es la identidad multiplicativa de F.

(5) Por cada elemento v de V, hay un elemento -v tal que v + (-v) = 0. De este modo -v es un inverso aditivo de v.

(6) La multiplicación escalar es asociativa. Si r, s F y a V, entonces (rs)a = r(sa).

(7) La multiplicación escalar es distributiva. Si r, s F y a, b V, entonces r(a + b) = ra + rb, and (r + s)a = ra + sa.

Entonces V es un espacio vectorial sobre F.

Con el tiempo te darás cuenta de que todas las condiciones anteriores son necesarias.

Al igual que en los campos, la identidad aditiva 0 es única, y los inversos aditivos son únicos: cada vector tiene su inverso.

Llamemos a 0, el vector cero. En un espacio vectorial, sólo puede haber un vector cero. Por otra parte, el inverso aditivo de un vector es siempre único.

saludos y suerte prof lauro soto


Mis sitios nuevos:
Emprendedores
Politica de Privacidad