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Espacio Vectorial Con Producto Interno

Espacios vectoriales

Siempre que se utiliza el t茅rmino “espacio” en un contexto matem谩tico, se refiere a un espacio vectorial, es decir, real o n-espacio complejo

el espacio de funciones continuas en la recta, el espacio de operadores lineales adjuntos y as铆 sucesivamente.

Por lo tanto, es un hecho innegable, que este tema tiene su propia importancia en el campo de las matem谩ticas.

Fijaremos el espacio vectorial de una manera m谩s amplia, con una definici贸n que contiene todos los conceptos relacionados.

Sea F un campo y V un conjunto. Supongamos que hay una operaci贸n binaria sobre V llamada adici贸n, la cual asigna a cada par de elementos a y b de V una suma 煤nica a + b V.

Imagina tambi茅n, que hay una segunda operaci贸n, llamada multiplicaci贸n escalar, que asigna a cualquier r F y a cualquier 2 V, un m煤ltiplo escalar 煤nico ra V .

 Supongamos que tanto la suma como la multiplicaci贸n escalar satisfacen los siguientes axiomas:

(1) La suma de los vectores es conmutativa. Es decir, a + b = b + a para todo a, b V.

(2) La suma de los vectores es asociativa. Es decir, (a + b) + c = a + (b + c) para todo a, b, c V.

(3) Existe una identidad aditiva 0 V de manera que 0 + a = a para todos los a V.

(4) Para todo a V, 1a = a, donde 1 es la identidad multiplicativa de F.

(5) Por cada elemento v de V, hay un elemento -v tal que v + (-v) = 0. De este modo -v es un inverso aditivo de v.

(6) La multiplicaci贸n escalar es asociativa. Si r, s F y a V, entonces (rs)a = r(sa).

(7) La multiplicaci贸n escalar es distributiva. Si r, s F y a, b V, entonces r(a + b) = ra + rb, and (r + s)a = ra + sa.

Entonces V es un espacio vectorial sobre F.

Con el tiempo te dar谩s cuenta de que todas las condiciones anteriores son necesarias.

Al igual que en los campos, la identidad aditiva 0 es 煤nica, y los inversos aditivos son 煤nicos: cada vector tiene su inverso.

Llamemos a 0, el vector cero. En un espacio vectorial, s贸lo puede haber un vector cero. Por otra parte, el inverso aditivo de un vector es siempre 煤nico.

saludos y suerte prof lauro soto


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