Ecuaciones Polinomicas

Ecuaciones Polinomicas

Ecuaciones Polinómicas

Obtener la solución de una ecuación polinómica es uno de los temas más candentes en el campo de las matemáticas, esto es debido a su importancia en los problemas de la vida real y científica. Las ecuaciones polinómicas son una clase que comprende tanto las ecuaciones lineales como las cuadráticas. La forma general de la ecuación polinómica es:

anxn + an-1xn-1 + … + a2×2 + a1x + a0 = 0

Aquí x representa una variable en particular, y an, an-1. . . a2, a1, a0 son las constantes. N siempre debe ser positiva junto con la condición de que an 0. Por ejemplo, x3 + 7×2 + 3x – 2 =0 es una ecuación polinómica.

La solución al problema del polinomio, consiste en encontrar todas las raíces de la ecuación dada. Existen ciertos teoremas que resultan útiles al resolver la ecuación:

De acuerdo con el primer teorema, que es el teorema fundamental del álgebra, un polinomio f(x) tiene grado n, el cual es mayor o igual a 1, en todo caso, tiene una solución compleja. Por lo tanto, este teorema asegura que toda ecuación polinómica con grado igual o superior a uno tiene al menos una solución.

Pasando al segundo teorema, el cual afirma que cualquier número puede existir como la raíz de cierto polinomio g(x) sólo si cumple la condición donde a es la raíz esperada del polinomio g(x), y f(x) es otra función polinómica.

Ahora, si tenemos a como una de las raíces del otro polinomio, f(x), entonces debemos tener un tercer polinomio h(x) para que se cumpla la condición . Su h(x) no debe ser igual a cero. En tal escenario, puede concluirse que la raíz tiene un equivalente multiplicativo de n y puede calcularse como las raíces n equivalente de a.

El tercer teorema se utiliza para determinar la cantidad de soluciones posibles de la ecuación polinómica dada. Un polinomio de n grado nos da un número n de soluciones siempre que el valor de n sea mayor o igual a uno. Esto significa que si tenemos p¬1¬, p¬2¬ … p¬n¬ como las posibles soluciones n del polinomio dado, entonces esto es de la forma,

Ahora, tenemos algunas fórmulas de Vieta para la ecuación polinómica. Éstas se definen en el cuarto teorema como,

p1¬ + p¬2¬ + p¬3¬ + … + p¬n¬ = (-a¬n-1¬/ a¬n¬)

p¬1¬p¬2¬ + p¬1¬p¬3¬ + … + p¬1¬p¬n¬ + p¬2¬p¬3¬ + … + p¬2¬p¬n¬ + … + p¬n-1¬p¬n¬ = (a¬n-2¬/ a¬n¬) p¬1¬p¬2¬¬p¬3 + p¬1¬p¬2¬p¬4¬ + … + p¬1¬p¬¬2¬p¬n¬ + p¬1¬p¬3¬¬p¬4 + … + p¬¬1p¬3¬p¬n¬ + … + p¬n-2p¬n-1¬p¬n¬ = (-a¬n-3¬/ a¬n¬)

p¬1¬p¬2¬p¬n¬ = (−1)n (a¬0¬/ a¬n¬¬)

El quito teorema establece que, una ecuación polinómica que tiene números reales como los coeficientes de sus variables, no desaparece de forma idéntica, y que poseen una raíz compleja deben tener también el conjugado de los números complejos como una de sus raíces.

De acuerdo con el sexto teorema, una ecuación polinómica que tiene números racionales como coeficientes de sus variables, no desaparece de forma idéntica, y poseen una raíz irracional que debe también tiene su inverso como una de sus raíces. Tomemos, por ejemplo, si una de las raíces de la ecuación polinómica es entonces es también su raíz.

Por el séptimo teorema, si para un polinomio, tenemos un número racional (k/ ) como las raíces entonces el término k debe dividir el coeficiente a¬0¬ y el término debe dividir el coeficiente a¬n¬.

Finalmente, el octavo teorema establece que, si para un polinomio, tenemos un entero como raíz, entonces tal raíz debería dividida el coeficiente a¬0.

saludos y suerte prof lauro soto


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