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Ecuaciones Polinomicas

Ecuaciones Polin贸micas

Obtener la soluci贸n de una ecuaci贸n polin贸mica es uno de los temas m谩s candentes en el campo de las matem谩ticas, esto es debido a su importancia en los problemas de la vida real y cient铆fica. Las ecuaciones polin贸micas son una clase que comprende tanto las ecuaciones lineales como las cuadr谩ticas. La forma general de la ecuaci贸n polin贸mica es:

anxn + an-1xn-1 + 鈥 + a2×2 + a1x + a0 = 0

Aqu铆 x representa una variable en particular, y an, an-1. . . a2, a1, a0 son las constantes. N siempre debe ser positiva junto con la condici贸n de que an 0. Por ejemplo, x3 + 7×2 + 3x 鈥 2 =0 es una ecuaci贸n polin贸mica.

La soluci贸n al problema del polinomio, consiste en encontrar todas las ra铆ces de la ecuaci贸n dada. Existen ciertos teoremas que resultan 煤tiles al resolver la ecuaci贸n:

De acuerdo con el primer teorema, que es el teorema fundamental del 谩lgebra, un polinomio f(x) tiene grado n, el cual es mayor o igual a 1, en todo caso, tiene una soluci贸n compleja. Por lo tanto, este teorema asegura que toda ecuaci贸n polin贸mica con grado igual o superior a uno tiene al menos una soluci贸n.

Pasando al segundo teorema, el cual afirma que cualquier n煤mero puede existir como la ra铆z de cierto polinomio g(x) s贸lo si cumple la condici贸n donde a es la ra铆z esperada del polinomio g(x), y f(x) es otra funci贸n polin贸mica.

Ahora, si tenemos a como una de las ra铆ces del otro polinomio, f(x), entonces debemos tener un tercer polinomio h(x) para que se cumpla la condici贸n . Su h(x) no debe ser igual a cero. En tal escenario, puede concluirse que la ra铆z tiene un equivalente multiplicativo de n y puede calcularse como las ra铆ces n equivalente de a.

El tercer teorema se utiliza para determinar la cantidad de soluciones posibles de la ecuaci贸n polin贸mica dada. Un polinomio de n grado nos da un n煤mero n de soluciones siempre que el valor de n sea mayor o igual a uno. Esto significa que si tenemos p卢1卢, p卢2卢 鈥 p卢n卢 como las posibles soluciones n del polinomio dado, entonces esto es de la forma,

Ahora, tenemos algunas f贸rmulas de Vieta para la ecuaci贸n polin贸mica. 脡stas se definen en el cuarto teorema como,

p1卢 + p卢2卢 + p卢3卢 + 鈥 + p卢n卢 = (-a卢n-1卢/ a卢n卢)

p卢1卢p卢2卢 + p卢1卢p卢3卢 + 鈥 + p卢1卢p卢n卢 + p卢2卢p卢3卢 + 鈥 + p卢2卢p卢n卢 + 鈥 + p卢n-1卢p卢n卢 = (a卢n-2卢/ a卢n卢) p卢1卢p卢2卢卢p卢3 + p卢1卢p卢2卢p卢4卢 + 鈥 + p卢1卢p卢卢2卢p卢n卢 + p卢1卢p卢3卢卢p卢4 + 鈥 + p卢卢1p卢3卢p卢n卢 + 鈥 + p卢n-2p卢n-1卢p卢n卢 = (-a卢n-3卢/ a卢n卢)

p卢1卢p卢2卢p卢n卢 = (−1)n (a卢0卢/ a卢n卢卢)

El quito teorema establece que, una ecuaci贸n polin贸mica que tiene n煤meros reales como los coeficientes de sus variables, no desaparece de forma id茅ntica, y que poseen una ra铆z compleja deben tener tambi茅n el conjugado de los n煤meros complejos como una de sus ra铆ces.

De acuerdo con el sexto teorema, una ecuaci贸n polin贸mica que tiene n煤meros racionales como coeficientes de sus variables, no desaparece de forma id茅ntica, y poseen una ra铆z irracional que debe tambi茅n tiene su inverso como una de sus ra铆ces. Tomemos, por ejemplo, si una de las ra铆ces de la ecuaci贸n polin贸mica es entonces es tambi茅n su ra铆z.

Por el s茅ptimo teorema, si para un polinomio, tenemos un n煤mero racional (k/ ) como las ra铆ces entonces el t茅rmino k debe dividir el coeficiente a卢0卢 y el t茅rmino debe dividir el coeficiente a卢n卢.

Finalmente, el octavo teorema establece que, si para un polinomio, tenemos un entero como ra铆z, entonces tal ra铆z deber铆a dividida el coeficiente a卢0.

saludos y suerte prof lauro soto


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