Motorola Moto G 4ta Generacion Plus, 5.5", C醡ara 16Mp, 32GB, Procesador Snapdragon 617 Octo-Core, Android Marshmallow 6.0.1, color Negro, Dual SIM, XT1641 Derivadas De Orden Superior Y Regla L Hopital

Derivadas De Orden Superior Y Regla L Hopital

Derivadas de Orden Superior y Regla de L’H么spital

La derivada de cualquier funci贸n determina la tasa de variaci贸n en funci贸n de la funci贸n con respecto a la entrada de la funci贸n. Este proceso de encontrar la derivada de una funci贸n se puede aplicar en una cascada muchas veces para encontrar las derivadas de orden superior de la funci贸n. Por ejemplo, al diferenciar la derivada de primer orden de la funci贸n, uno obtendr谩 la derivada de segundo orden de la funci贸n y a trav茅s de la diferenciaci贸n de la derivada de segundo orden de la funci贸n obtendremos la derivada de tercer orden de la funci贸n y as铆 sucesivamente. En t茅rminos simples diferenciar la derivada de una funci贸n dar谩 lugar a una derivada de la funci贸n de orden superior por un grado. La derivada de primer orden de la funci贸n se representa como,

La derivada de segundo orden de una funci贸n se representa como,

La derivada de tercer orden de una funci贸n se representa como,

 

Y as铆 sucesivamente. La derivada de segundo orden de la funci贸n tambi茅n se conoce como “g doble prima de y”, donde g es la funci贸n en t茅rminos de y. De manera similar la derivada de tercer orden de una funci贸n tambi茅n se conoce como “g triple prima de y”, etc. Las derivadas de orden superior de cualquier funci贸n pueden derivarse de esta forma hasta que la derivada obtenida es diferenciable en s铆 misma.

La derivada de segundo orden de una funci贸n f(x), que es todav铆a m谩s diferenciable,

No es posible obtener una derivada de orden superior de la funci贸n si la derivada actual de la funci贸n no es diferenciable. Para aclarar el concepto de las derivadas de orden superior eche un vistazo al ejemplo citado a continuaci贸n. f(x) = 4×3 + 9×2 鈥 3x + 4 La derivada de primer orden de esta funci贸n ser谩,

f鈥(x) = 12×2 +18x 鈥 3

Por la derivada anterior ser diferenciable es posible al diferenciarla nuevamente obtener la derivada de segundo orden de la funci贸n como, f鈥欌(x) = f鈥(f鈥(x)) = 24x + 18

Al analizar la derivada de la funci贸n anterior se puede ver que esta puede ser a煤n m谩s diferenciada. Por lo tanto la derivada de tercer orden de la funci贸n ser谩,

f鈥欌欌(x) = f鈥(f鈥(f鈥(x))) = 24

Ahora la derivada de cuarto orden de la funci贸n se obtiene,

f鈥欌欌(x) = f鈥(f鈥(f鈥(f鈥(x)))) = 0

Como se puede observar ya no es posible diferenciar la funci贸n por m谩s tiempo, por lo tanto detenemos el proceso de diferenciaci贸n aqu铆.

El ejemplo anterior tambi茅n arroja luz sobre un hecho muy interesante, que es, si f(x) es un polinomio con n como el m谩s alto grado entonces la derivada de mayor orden de tal funci贸n ser谩 n +1. Una diferencia muy interesante y diminuta entre la notaci贸n convencional de la potenciaci贸n y la diferenciaci贸n se explica m谩s adelante,

f(2)(x)= f鈥欌(x) f2(x) = [f(x)]2

Esta es, la presencia de par茅ntesis en el exponente denota una operaci贸n de diferenciaci贸n, mientras que su presencia en s铆 denota la operaci贸n de exponenciaci贸n.

La regla de L’H么spital, tambi茅n llamada regla de Bernoulli es una parte muy importante del c谩lculo. Se utiliza principalmente para encontrar las salidas de los l铆mites cuando los l铆mites son de forma intermedia; se utiliza principalmente para las derivadas de las funciones.

Esta regla se utiliza para transformar los l铆mites intermedios en una forma determinada y por tanto, obtener la salida m谩s conveniente.

La definici贸n formal de L’H么spital es, existen dos funciones f(x) y g(x). Ahora bien, si

  , adem谩s
es real, entonces de acuerdo a la regla del L’H么spital,

Saludos y suerte prof lauro soto


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