Derivadas De Orden Superior Y Regla L Hopital

Derivadas De Orden Superior Y Regla L Hopital

Derivadas de Orden Superior y Regla de L’Hôspital

La derivada de cualquier función determina la tasa de variación en función de la función con respecto a la entrada de la función. Este proceso de encontrar la derivada de una función se puede aplicar en una cascada muchas veces para encontrar las derivadas de orden superior de la función. Por ejemplo, al diferenciar la derivada de primer orden de la función, uno obtendrá la derivada de segundo orden de la función y a través de la diferenciación de la derivada de segundo orden de la función obtendremos la derivada de tercer orden de la función y así sucesivamente. En términos simples diferenciar la derivada de una función dará lugar a una derivada de la función de orden superior por un grado. La derivada de primer orden de la función se representa como,

La derivada de segundo orden de una función se representa como,

La derivada de tercer orden de una función se representa como,

 

Y así sucesivamente. La derivada de segundo orden de la función también se conoce como “g doble prima de y”, donde g es la función en términos de y. De manera similar la derivada de tercer orden de una función también se conoce como “g triple prima de y”, etc. Las derivadas de orden superior de cualquier función pueden derivarse de esta forma hasta que la derivada obtenida es diferenciable en sí misma.

La derivada de segundo orden de una función f(x), que es todavía más diferenciable,

No es posible obtener una derivada de orden superior de la función si la derivada actual de la función no es diferenciable. Para aclarar el concepto de las derivadas de orden superior eche un vistazo al ejemplo citado a continuación. f(x) = 4×3 + 9×2 – 3x + 4 La derivada de primer orden de esta función será,

f’(x) = 12×2 +18x – 3

Por la derivada anterior ser diferenciable es posible al diferenciarla nuevamente obtener la derivada de segundo orden de la función como, f’’(x) = f’(f’(x)) = 24x + 18

Al analizar la derivada de la función anterior se puede ver que esta puede ser aún más diferenciada. Por lo tanto la derivada de tercer orden de la función será,

f’’’(x) = f‘(f’(f’(x))) = 24

Ahora la derivada de cuarto orden de la función se obtiene,

f’’’(x) = f’(f‘(f’(f’(x)))) = 0

Como se puede observar ya no es posible diferenciar la función por más tiempo, por lo tanto detenemos el proceso de diferenciación aquí.

El ejemplo anterior también arroja luz sobre un hecho muy interesante, que es, si f(x) es un polinomio con n como el más alto grado entonces la derivada de mayor orden de tal función será n +1. Una diferencia muy interesante y diminuta entre la notación convencional de la potenciación y la diferenciación se explica más adelante,

f(2)(x)= f’’(x) f2(x) = [f(x)]2

Esta es, la presencia de paréntesis en el exponente denota una operación de diferenciación, mientras que su presencia en sí denota la operación de exponenciación.

La regla de L’Hôspital, también llamada regla de Bernoulli es una parte muy importante del cálculo. Se utiliza principalmente para encontrar las salidas de los límites cuando los límites son de forma intermedia; se utiliza principalmente para las derivadas de las funciones.

Esta regla se utiliza para transformar los límites intermedios en una forma determinada y por tanto, obtener la salida más conveniente.

La definición formal de L’Hôspital es, existen dos funciones f(x) y g(x). Ahora bien, si

  , además
es real, entonces de acuerdo a la regla del L’Hôspital,

Saludos y suerte prof lauro soto


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