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Derivadas

Es un hecho bien conocido que la salida de una funci贸n var铆a a medida que la entrada de la funci贸n var铆a. Un t茅rmino de las matem谩ticas, utilizado para medir esta variaci贸n se llama derivada, la cual es estudiada bajo el c谩lculo.

Una derivada representa la variaci贸n infinitesimal causada a una funci贸n cuando una o m谩s de sus variables son variadas. La noci贸n de derivada se encuentra en el coraz贸n de las matem谩ticas modernas y el c谩lculo.

Hablando en t茅rminos precisos, la variaci贸n en la salida dependiente de una funci贸n con respecto a la variaci贸n en la entrada independiente de una funci贸n se llama diferenciaci贸n y la derivada de la funci贸n es la tasa de variaci贸n de la salida de la funci贸n con respecto a la tasa de variaci贸n de la entrada de la funci贸n.

Aqu铆 se puede llamar a la salida de la funci贸n como una funci贸n de la funci贸n de entrada.

Sin embargo, la noci贸n de derivada puede explicarse de dos maneras, una como el gradiente de la curva, que es la representaci贸n geom茅trica, y la otra como la tasa de cambio explicada anteriormente, que es la representaci贸n f铆sica.

Una definici贸n general de una derivaci贸n ser铆a la siguiente “la medida de la variaci贸n en una de las cantidades determinada por el cambio en otra cantidad”. La derivaci贸n de una funci贸n en un punto representa la mejor estimaci贸n lineal de esa funci贸n cerca del punto de entrada elegido.

Si una funci贸n valorada real tiene una sola variable como su entrada, la derivada de la funci贸n en alg煤n punto representar谩 la pendiente de la tangente para la gr谩fica de la funci贸n en ese punto. La derivada de una funci贸n tambi茅n se denomina transformaci贸n lineal de esa funci贸n o linealizaci贸n de las dimensiones superiores.

La diferenciaci贸n de la funci贸n extraer谩 la derivada de esa funci贸n, el proceso inverso que es, la anti diferenciaci贸n / integraci贸n extraer谩 de nuevo la funci贸n.

La notaci贸n convencional para denotar una derivada es la siguiente,

Esta es una derivada de la funci贸n y con respecto a x. Tambi茅n se puede representar como,

Sin embargo, las derivadas son en su mayor铆a definidas en el plano real, pero pueden ser mejor definidas en un plano complejo.

Tales derivadas se denominan derivadas complejas.

Es esencial que obtengamos un 煤nico resultado para todas las derivadas a lo largo del plano complejo, por la existencia de un derivado complejo. Y es un hecho notable que la mayor铆a de las funciones matem谩ticas satisfacen esta propiedad.

El c谩lculo de la derivada de una funci贸n requiere seguir algunos pasos.

Vamos a empezar con el entendimiento de la pendiente. La pendiente de una recta con los puntos (x1, y1) y (x2, y2) se puede definir como,

Ahora sustituye y = f (x), que es la ecuaci贸n de la recta, en lugar de y para obtener,

Ahora redefina el punto de la funci贸n para obtener la derivada de la funci贸n en un punto x0. Coloca x0 = x1 y x = x2

Ahora, para determinar la derivada de la recta, tome el l铆mite, o en otras palabras permita que x avance a x0.

Despu茅s de calcular la derivada de primer orden, tambi茅n es posible calcular la segunda derivada o la tercera derivada de una funci贸n. La derivada de segundo orden de una funci贸n es representada como,

f’‘(x)


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