Derivada De Funciones Implicitas

Derivada De Funciones Implicitas

Derivada de las Funciones Implícitas

Las funciones se pueden clasificar en dos categorías generales, funciones implícitas y funciones explícitas.

Una función se denomina implícita cuando su salida no está definida en términos de su entrada, explícitamente.

Las funciones algebraicas y las funciones inversas corresponden a la categoría de funciones implícitas.

Una función que se define implícitamente puede ser diferenciada con la ayuda de una regla de la cadena, denominada diferenciación implícita.

La mejor forma de diferenciar una función implícita es diferenciando cada lado de la ecuación de la función explícitamente.

Mientras se hace esto, es esencial tener en mente que la variable dependiente de la función debe ser tratada como la variable independiente de la función; y sencillamente aplicar las reglas de diferenciación normal incluyendo todas las propiedades y las reglas de diferenciación.

Finalmente resolver para cada derivada.

Para tener una mejor comprensión, tomemos un vistazo el ejemplo dado a continuación,

Diferenciar la ecuación tal como lo hacemos para una función explícita,

= d(4x – y)/ dx = 0

= 4 – dy/ dx = 0

= dy/ dx = 4

Los pasos para la diferenciación de una función implícita se indican a continuación:

1. Diferencie la ecuación implícita con respecto a x tal como lo hace para una función explícita. Si la ecuación contiene términos de y o cualquier otra variable elevada a la potencia de y, entonces primero multiplique la ecuación con dy / dx.

2. Mueva los términos con dy / dx como sus coeficientes a un lado de la ecuación y el resto de los términos hacia el otro lado de la ecuación.

3. Ahora, extraiga el valor de dy / dx y resolverlo.

El método explicado más arriba es el método de diferenciación implícita para resolver una función implícita.

Hay una forma más de resolver una función implícita, llamada diferenciación directa.

Bajo el método explicado anteriormente, el primer paso es escoger la variable que se considerará como variable dependiente y la variable que se considerará como variable independiente.

Suponga que y es la variable dependiente para la función dada, luego se resuelve para y con respecto a x, que es la variable independiente de la función.

Bajo el método de diferenciación directa, sólo resuelva para la variable dependiente al mover los términos contenidos en la variable dependiente hacia un lado y la variable independiente hacia el otro lado y realizando la diferenciación con respecto a la variable independiente.

Bajo el método de diferenciación directa, generalmente la variable dependiente se da de manera explícita y no de forma escogida.

Considere un ejemplo de una ecuación resuelta mediante el método de diferenciación directa,

4X2 + 5X – y + 2 = 0

Moviendo los términos que contiene y hacia un lado de la ecuación, que es la variable dependiente de la ecuación,

4X2 + 5X + 2 = y Ahora diferenciando la ecuación obtenemos,

dy / dx = 8x + 5, que es la respuesta necesaria.

La obtención de las derivadas parciales para un sistema de ecuaciones de funciones implícitas también muy fácil.

Para esto, seleccione cualquiera de las variables de la ecuación y vea esta variable como función de las variables restantes en la ecuación.

Sea una función implícita definida en términos de tres variables x,y, z como,

Entonces la derivada parcial de tal ecuación se puede derivar como,


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