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Definicion De Subespacio Vectorial

Definición del subespacio y sus propiedades

Sea V un espacio vectorial arbitrario sobre un campo F. Un subconjunto no vacío W de V es llamado subespacio lineal de V, o simplemente un subespacio, siempre que se cumplan dos condiciones:

(i) a + b 2 W siempre a, b 2 W, y

(ii) ra 2 W siempre que r 2 F.

Est√° claro que todo subespacio de un espacio vectorial contiene el vector cero, 0. De hecho, {0} es un subespacio propio, llamado subespacio trivial. Consideremos, por ejemplo, una ecuaci√≥n lineal a, b, c, d 2 F. Si d 6= 0, entonces su conjunto de soluciones no puede ser un sub-espacio de F3 ya que x = y = z = 0 no ser√° una soluci√≥n, y por lo tanto los conjunto de soluciones no contienen 0 = (0, 0, 0)T . Por otro lado, como se se√Īala a continuaci√≥n, el conjunto soluci√≥n de un sistema arbitrario homog√©neo ax + by + cz = 0 es un subespacio de F3.

Un subespacio W de V es un espacio vectorial sobre F por derecho propio. Sabemos por supuesto que W es un subconjunto no vac√≠o de V, el cual es cerrado bajo la suma y la multiplicaci√≥n escalar. Pero entonces W contiene 0, ya que 0W = 0 para cualquier w 2 W, y cada elemento w de W tiene su inverso aditivo -w en W, ya que -w = (−1) w. Pero el resto de los axiomas de espacio vectorial est√°n en W, puesto que ya lo est√°n en V. Por lo tanto, mantienen todos los axiomas del espacio vectorial en W.

Un hecho muy interesante sobre el espacio vectorial es que para cada espacio vectorial tenemos en realidad dos subespacios. Uno de ellos es el espacio vectorial propio, mientras que el otro es el subespacio cero, es decir, W = {0}.

Veamos un ejemplo de subespacio.

Calcula si el conjunto de entrada viene siendo el subespacio del espacio vectorial dado. Tenemos w como un conjunto de puntos de R2 donde el valor de cada elemento del conjunto debe ser mayor que cero. ¬ŅSe est√° formando un subespacio de R2?

Para probar esto simplemente tenemos que confirmar si el conjunto de entrada se ajusta a la propiedad de cierre de la multiplicación y suma escalares.

Tomando la primera propiedad de clausura bajo la adición

(x¬1¬, y¬1¬) + (x¬2¬, y¬2¬) = (x¬1¬ + x¬2¬, y¬1¬ + y¬2¬)

Ahora, ya se ha dicho que el valor de cada elemento en el conjunto es mayor que cero. Por lo tanto, tenemos x¬1¬ y x¬2¬ es mayor que cero, esto significa que su suma también debe ser mayor que cero. Similar es el caso de y¬1¬ y y¬2¬. Esto significa que la propiedad de clausura bajo la adición es cierta.

Tomando la segunda propiedad de la multiplicación escalar,

Para demostrar esta propiedad tomamos una cantidad escalar negativa c. Entonces su multiplicación con cualquier elemento del conjunto será, c(x, y) = (cx, cy)

Como el valor de c es negativo su multiplicación con cualquier cantidad positiva produce un término negativo. En consecuencia, la propiedad de cierre de la multiplicación escalar no es verdadera lo cual significa que no forma parte del espacio vectorial dado.

saludos y suerte prof lauro soto


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