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Definicion De Serie

Definici贸n de serie

Las series son una parte esencial en el campo de las Matem谩ticas.

Aunque se define simplemente como la suma de t茅rminos finitos o infinitos, tiene una gran importancia.

Una serie finita termina finitamente, esto es, tiene definido tanto el primer como el煤ltimot茅rmino.

Por otro lado, una serie infinita contin煤a sin interrupci贸n.

Por ejemplo: {1, 3, 6, 8} se puede considerar como una serie finita, mientras que una serie de la forma {2, 4, 6 8…} es un ejemplo de serie infinita.

En algunos casos, es beneficioso convertir un n煤mero o una funci贸n en forma de series infinitas lo cual a su vez puede ayudar en su c谩lculo.

Incluso puede lograr que el c谩lculo complejo sea m谩s f谩cil.

Por ejemplo, para el c谩lculo exponencial, este puede ser convertido en la forma:

Esta t茅cnica de expansi贸n puede ser utilizada eficazmente con el fin de obtener los valores estimados de la funci贸n, de las integrales o para resolver ecuaciones diferenciales, algebraicas o integrales.

Cuando la serie infinita es reemplazada por la suma de los t茅rminos inicialesde la serie, un valor de error aproximado puede ser estimado, lo que a su vez, ayuda en la determinaci贸n de la raz贸n de convergencia efectiva para la serie correspondiente.

Las series pueden ser convergentes o divergentes. Una serie convergente tiene las siguientes propiedades:

1) Si el t茅rmino parcial de la sucesi贸n de la serie converge, entonces se dice que toda la serie es convergente. Por otro lado, si el t茅rmino parcial de lasucesi贸n diverge, la serie tambi茅n diverge.

2) En caso que el resto de alguna parte de la serie converja, entonces toda la serie converge y viceversa.

3) Si una serie de la forma converge, entonces la serie de la forma converge tambi茅n.

4) Si la serie de la forma converge, entonces la serie de la forma converge.

5) La serie converge, s贸lo con la condici贸n de que tambi茅n converja.

6) Se dice que una serie de la forma es convergente si α> 1 y diverge en el caso inverso, es decir, cuando α<1.

Puede suceder el caso que la suma de las series sea desconocida.

En ese caso, la condici贸n de Cauchy puede ser utilizada con el fin de encontrar la convergencia de la serie.

De acuerdo con la condici贸n de Cauchy, existe un n煤mero n∊para cada ∊> 0, el cual satisface la condici贸n , n>nε. Aqu铆 p es un entero positivo.

Una serie que contiene los t茅rminos positivos tiene su importancia en la teor铆a de las series.

Una condici贸n necesaria e importante para que estos tipos de seriessean convergentes es que la sucesi贸n de la suma parcial debe ser limitada.

Por otro lado, si se cumple la condici贸n , entonces la serie diverge.

Veamos un ejemplo del concepto de series convergentes y divergentes. Suponga que la forma de la seriees .

Con el fin de determinar si la serie dada converge o diverge, lo primero y m谩s importante a determinar es si la suma parcial de la sucesi贸n diverge o converge. La suma parcial de la sucesi贸n parala serie correspondiente puede ser dada como . Se puede observar que el l铆mite de los t茅rminos de la suma parcial es divergente al infinito .

Por lo tanto, se dice que toda la serie es divergente.

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