Definicion De Determinante De Una Matriz

Definicion De Determinante De Una Matriz

Definición del determinante de una matriz

El Determinante de una matriz puede considerarse como las características escalares de una matriz determinada el cual es el volumen limitado por los vectores de matrices filas. La condición previa para la existencia del determinante de la matriz es que la matriz sea una matriz cuadrada. Con la ayuda del determinante se prueba si existe o no el inverso de la matriz particular.

| A | es el símbolo con el cual se representa el determinante de la matriz. La dimensión de la matriz juega un papel esencial en la búsqueda del valor del determinante. Por ejemplo:

para una matriz cuadrada , el determinante puede encontrarse por:

| A | = = ad – bc

Existen algunas propiedades esenciales de los determinantes que son dignas de consideración:

1). En caso de que las dos filas de un determinante sean iguales o, en otras palabras, una fila puede expresarse como la combinación lineal de dos filas, entonces |A| = 0. En el caso de las columnas es similar.

2). Cuando |A| = 0, entonces en este caso la matriz no puede ser invertida.

3). | A | = | A |T

4). | AB | = | A |.| B | = |BA| . Sin embargo, tanto A como B deben ser matrices cuadradas.

5). El determinante de la matriz triangular es el producto de los valores de la diagonales del triángulo.

6). Intercambiar las filas de la matriz conduce a la negación de su valor final. Esto es,

En general, para una matriz n x n, el determinante puede calcularse como:

ai1Ci1 + ai2Ci2 + • • • + ainCin

Aqui Cij es el cofactor y puede calcularse como

Cij = (−1) i+j det Mij

Mij es la matriz menor y puede obtenerse eliminando la fila ith y la columna jth de la matriz.

También, el valor del determinante permanece sin cambios si los elementos de una fila son alterados añadiendo, digamos, los múltiplos constantes de los elementos correspondientes en cualquier otra fila.

Del mismo modo, el valor del determinante no se altera si los elementos de una columna son cambiados agregándoles múltiplos constantes de los elementos correspondientes en cualquier otra columna.

Veamos un ejemplo. Supongamos que queremos saber el valor de la matriz ahora, convertimos la matriz en una matriz triangular mediante la aplicación de algunas operaciones elementales. Multipliquemos los valores de la primera fila con la mitad y sumémoslos con los valores de segunda fila. Con esto, obtenemos

Aquí usamos una de las propiedades del determinante la cual establece que el determinante de la matriz triangular es el producto de los valores de la diagonal del triángulo.

Por lo tanto,

Por lo tanto, los determinantes tienen una diversidad de usos:

1). Para verificar si existe o no el inverso de una matriz .

2). Es útil para el cálculo de los valores y vectores propios.

3). El volumen o el área de la forma particular que son definidos por matrices fila mediante la ayuda de los determinantes. Por ejemplo:

| A | = representa el cuadrado en el plano 2D. El área y el determinante de la forma particular es 1.

saludos y suerte prof lauro soto


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