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Clasificacion De Los Sistemas De Ecuaciones Lineales

Clasificaci贸n de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de soluciones

Una ecuaci贸n lineal es una ecuaci贸n algebraica que contiene variables cuyo m谩ximo grado posible es uno. Tales ecuaciones se utilizan normalmente para definir l铆neas rectas.

Cuando tenemos numerosas ecuaciones lineales, donde sus posibles soluciones nos dan un punto de soluci贸n, las llamamos como conjunto, sistema de ecuaciones lineales.

Generalmente, un sistema de ecuaciones lineales se convierte en forma de matriz por conveniencia para su soluci贸n. Sea un sistema de ecuaciones lineales dado como

x + y 鈥 z = 1

3x 鈥 2y + z = 3

4x + y 鈥 2z = 9

A continuaci贸n se indica la forma matricial del sistema de la ecuaci贸n como,

Existen tres tipos de sistemas de ecuaciones lineales posibles, los cuales dependen del punto de intersecci贸n de la ecuaci贸n lineal en un determinado sistema de ecuaci贸n. Estos son:

1. Inconsistente independiente: Si las ecuaciones del sistema dado vienen a ser las mismas rectas que difieren en su pendiente, entonces tal sistema de ecuaciones lineales es llamado consistente y dependiente.

Este sistema de ecuaciones lineales no proporciona una soluci贸n dado que todas las rectas son paralelas entre s铆 y no pueden cumplir con los dem谩s, incluso si se extiende hasta el infinito, por lo que nunca se obtiene un punto de intersecci贸n, y por tanto, no puede obtenerse ninguna soluci贸n.

2.Consistente dependiente: Si todas las ecuaciones en un sistema de ecuaciones lineales calculan la misma recta en un pedazo de papel milimetrado, de manera que todas las rectas se superpongan unas sobre otras, podemos llamar a tal sistema de ecuaciones como un sistema de ecuaciones lineales inconsistente e independiente.

En este caso obtenemos un n煤mero infinito de soluciones porque todos los puntos por encima de la recta son puntos de intersecci贸n.

3.Consistente independiente: Este es el sistema m谩s general de las ecuaciones lineales, donde tenemos un n煤mero de rectas que se interceptan en un solo punto

el cual es la 煤nica soluci贸n para el sistema de ecuaciones, y denominamos a tal sistema de ecuaciones consistente e independiente.

Adem谩s de esto tambi茅n tenemos tres categor铆as de posibles soluciones para un determinado sistema de ecuaciones lineales. Estas son:

1.Soluci贸n Independiente: La soluci贸n independiente es la soluci贸n 煤nica para un sistema de ecuaciones lineales.

Para un sistema de ecuaci贸n, si aplicamos una operaci贸n de transformaci贸n de fila generalmente obtendremos una matriz de identidad.

Una caracter铆stica 煤nica de este tipo soluci贸n es que se necesita disponer de tantos n煤meros de ecuaciones como variables en el sistema dado.

Si este requisito no se cumple, no podemos obtener una soluci贸n independiente.

Al resolver el sistema de ecuaciones obtenemos una soluci贸n 煤nica para cada una de las tres variables como x = 3, y = 1 y z = 2

2.Soluci贸n Dependiente: La soluci贸n dependiente es aquella por medio de la cual se obtienen numerosas soluciones para una sola variable, este es el caso de las soluciones m煤ltiples.

Para este sistema de ecuaciones, si aplicamos la operaci贸n de transformaci贸n de fila generalmente obtendremos pocos t茅rminos de cero.

Usualmente, es el caso donde el n煤mero de variables es mayor que el n煤mero de ecuaciones en el sistema. Muchas veces este sistema contiene una fila cero.

La soluci贸n del sistema es x = 4 - 3t, y = 3 + 2t, z = t.

3.Soluci贸n Inconsistente: La soluci贸n es inconsistente, cuando no obtenemos ninguna soluci贸n para el sistema de ecuaciones lineales.

No tenemos una soluci贸n para el sistema de ecuaciones anterior.

saludos y suerte prof lauro soto


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