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Cambio De Base

Bases y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base

La base de un espacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial que se extiende sobre un espacio vectorial determinado y es linealmente independiente en el mismo. Esto es, si tenemos un espacio vectorial V y tenemos S como un subconjunto de este espacio vectorial, el cual consiste de n vectores de la forma v¬1¬, v¬2¬, v¬3¬ … v¬n¬ entonces podemos definir que este subconjunto es la base del espacio vectorial dado, si cumple las dos condiciones siguientes:

1. Este subconjunto se extiende a través del espacio vectorial dado. 2. S es subconjunto de V conteniendo los vectores de V, los cuales son linealmente independientes.

Con la ayuda de una ecuación lineal podemos representar tal conjunto como,

Aquí v es un vector que yace en el espacio vectorial dado y los vectores n representados como v-1¬, v¬2¬, v¬3¬ … v¬n¬ forman parte de la base del espacio vectorial dado.

Existen numerosos ejemplos de la base de un espacio vectorial. Imagina tres dimensiones las cuales constan de dos vectores. Imagina que estos vectores no son planos. El plano definido con la ayuda de estos dos vectores s√≥lo formar√° una base para los espacios tridimensionales actuales. Esto es porque si definimos una combinaci√≥n lineal con la ayuda de estos dos vectores, entonces este se encontrar√≠a definitivamente dentro el plano mismo e inversamente tambi√©n es posible expresar un vector dentro del plano como una combinaci√≥n lineal de ambos. Ahora extendamos esta definici√≥n para formar la base de la definici√≥n de la dimensi√≥n del espacio vectorial. Imaginemos que tenemos un espacio vectorial V y sea S la base de este espacio vectorial. Ahora coloquemos un n√ļmero limitado de vectores en la base de espacio vectorial S, entonces definir√≠amos este espacio vectorial dado como un espacio vectorial de dimensi√≥n finita y la dimensi√≥n real se obtendr√≠a mediante calcular el n√ļmero total de vectores en la base de ese espacio vectorial.

En caso de que tengamos un n√ļmero infinito de vectores en la base del espacio vectorial dado, entonces llamaremos al espacio vectorial un espacio vectorial de dimensi√≥n infinita, y la dimensi√≥n de tal espacio vectorial es y la dimensi√≥n de un espacio vectorial nulo es el valor 0.

Puede haber más de una base para un espacio vectorial dado. Esto significaría que es posible definir los vectores dentro de un espacio vectorial dado como la sumatoria de los vectores de ambas bases. Sea V un espacio vectorial y S la base de este espacio vectorial. Ahora definamos todos los vectores v V en términos de los elementos finitos de esta base. Definamos ahora otra base para este espacio vectorial. Ahora bien, si intentamos redefinir los elementos del espacio vectorial como una sumatoria de los elementos del segundo vector, llamamos a este proceso cambio de base.

Este proceso puede ser considerado como una función identidad sobre los elementos del espacio vectorial.

saludos y suerte prof lauro soto


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