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Analisis De La Variacion De Funciones

An谩lisis de la Variaci贸n de la Funci贸n

Cuando la variaci贸n total de cualquier funci贸n particular es finita, en ese caso, esa funci贸n se conoce como Funci贸n de Variaci贸n Acotada, que puede ser abreviada como funci贸n BV (Bounded Variation por sus siglas en ingl茅s). El gr谩fico correspondiente de la funci贸n BV se dice entonces que se comporta bien en un sentido preciso. La funci贸n BV tiene amplias aplicaciones en el campo de las matem谩ticas, y es utilizada en algunos de los teoremas m谩s importantes, tal como son los Teoremas de Fourier. En el caso de la funciones continuas que contienen s贸lo una variable, la variaci贸n acotada implica la distancia finita cubierta por un punto a lo largo del eje y. Otra clasificaci贸n establece que las funciones de variaci贸n acotada, tienen la propiedad de intervalo cerrado, son las funciones que se pueden establecer como la diferencia entre dos mon贸tonas acotadas.

La variaci贸n Acotada de una funci贸n determinada en el intervalo [x, y] puede ser establecida como

Donde S es el conjunto acotado

La variaci贸n resulta ser infinita si el conjunto no es acotado. El supremo de S puede ser llamado tambi茅n como Variaci贸n Total o s贸lo la variaci贸n de f y se denota como V (f; x, y) o simplemente V (x).

Existen ciertos teoremas que pueden ser 煤tiles para el an谩lisis de la variaci贸n de la funci贸n:

1). Si en el conjunto [x, y], la funci贸n est谩 incrementando, en ese caso, es la funci贸n de variaci贸n acotada en el conjunto [x, y] y consecuentemente V [g [x, y]] = g(y) 鈥 g(x).

2). Si en el conjunto [x, y] la funci贸n es constante, entonces es la funci贸n de variaci贸n acotada en el conjunto [x, y] y entonces V [g [x, y]] = 0.

Por ejemplo, la funci贸n g(r) = c es una funci贸n de variaci贸n acotada constante en el intervalo [x, y]. | g (ri) 鈥 g (ri - 1)| = 0 por cada partici贸n del conjunto [a, b]. Por tanto, V (g, [x, y]) = 0.

3) En el conjunto [x, y] si, g y f son las funciones de variaci贸n acotada y c es constante, en ese caso

a). g es una funci贸n de variaci贸n acotada en el intervalo [x, y].

b). g es una funci贸n de variaci贸n acotada en cada subintervalo cerrado del intervalo [x, y].

c). cg es tambi茅n una funci贸n BV en el conjunto [x, y].

d). g + f y g 鈥揻 son BV en el conjunto [x, y]

e). gf es tambi茅n BV en el conjunto [x, y].

Algunos datos m谩s 煤tiles acerca de estas funciones especiales se pueden establecer como que una funci贸n de variaci贸n acotada se puede expresar tambi茅n por la divergencia de 2 funciones crecientes.

Del mismo modo, todas las funciones totalmente continuas son de naturaleza BV, sin embargo, no es necesario que todas las funciones continuas BV deban ser totalmente continuas.

La funci贸n f puede ser considerada como BV en el conjunto [x, y] si, la derivada de f se encuentra acotada en [x, y]. Adem谩s, cuando dos funciones variaci贸n acotada se multiplican entre s铆, entonces la resultante es tambi茅n una funci贸n de variaci贸n acotada.

Hay algunas propiedades b谩sicas que son seguidas por las Funciones de Variaci贸n Acotada:

1) Las Funciones de Variaci贸n Acotada pueden tener discontinuidad de primer tipo, es decir, discontinuidad de salto.

Saludos y suerte prof lauro soto


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