Variables Aleatorias Continuas

Variables Aleatorias Continuas

Variable aleatoria

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Una variable aleatoria o variable estocástica es una función que asigna un valor, usualmente numérico, al resultado de un experimento aleatorio. Por ejemplo, los posibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc. o un número real (p.e., la temperatura máxima medida a lo largo del día en una ciudad concreta).

Los valores posibles de una variable aleatoria pueden representar los posibles resultados de un experimento aún no realizado, o los posibles valores de una cantidad cuyo valor actualmente existente es incierto (p.e., como resultado de medición incompleta o imprecisa). Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomarse como una cantidad cuyo valor no es fijo pero puede tomar diferentes valores; una distribución de probabilidad se usa para describir la probabilidad de que se den los diferentes valores. En términos formales una variable aleatoria es una función definida sobre un espacio de probabilidad.

Las variables aleatorias suelen tomar valores reales, pero se pueden considerar valores aleatorios como valores lógicos, funciones o cualquier tipo de elementos (de un espacio medible). El término elemento aleatorio se utiliza para englobar todo ese tipo de conceptos relacionados. Un concepto relacionado es el de proceso estocástico, un conjunto de variables aleatorias ordenadas (habitualmente por orden o tiempo).

Definición de variable aleatoria Concepto intuitivo

Una variable aleatoria puede concebirse como un valor numérico que está afectado por el azar. Dada una variable aleatoria no es posible conocer con certeza el valor que tomará está al ser medida o determinada, aunque sí se conoce que existe una distribución de probabilidad asociada al conjunto de valores posibles. Por ejemplo, en una epidemia de cólera, se sabe que una persona cualquiera puede enfermar o no (suceso), pero no se sabe cuál de los dos sucesos va a ocurrir. Solamente se puede decir que existe una probabilidad de que la persona enferme.

Para trabajar de manera sólida con variables aleatorias en general es necesario considerar un gran número de experimentos aleatorios, para su tratamiento estadístico, cuantificar los resultados de modo que se asigne un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento. De este modo se establece una relación funcional entre elementos del espacio muestral asociado al experimento y números reales. Definición formal

Una variable aleatoria (v.a.) X es una función real definida en el espacio de probabilidad, ( Ω , A , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal Ā},P)} {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal Ā},P)}, asociado a un experimento aleatorio.1 2

    X : Ω → R 

La definición formal anterior involucra conceptos matemáticos sofisticados procedentes de la teoría de la medida, concretamente la noción σ-álgebra o la de medida de probabilidad.3 4 Dado un espacio de probabilidad ( Ω , A , P ) y un espacio medible ( S , Σ ) una aplicación X : Ω ⟶ S es una variable aleatoria si es una aplicación A , Σ En el uso ordinario, los puntos de ω ∈ Ω no son directamente observables, sólo el valor de la variable en el punto X ( ω ) por lo que el emento probabilístico reside en el desconocimiento que se tiene del punto concreto ω .

En la mayoría de usos práctios se tiene que el espacio medible de llegada es ( S , Σ ) = ( R , B ( R ) ) quedando pues la definición de esta manera:

Dado un espacio de probabilidad ( Ω , A , P ) una variable aleatoria real es cualquier función A / B ( R ) -medible donde B ( R )es la σ-álgebra boreliana.

Caracterización de variables aleatorias Tipos de variables aleatorias

Para comprender de una manera más amplia y rigurosa los tipos de variables, es necesario conocer la definición de conjunto discreto. Un conjunto es discreto si está formado por un número finito de elementos, o si sus elementos se pueden enumerar en secuencia de modo que haya un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y así sucesivamente5 (es decir, un cojunto infinito numerable sin puntos de acumulación). Para variables con valores en R {\displaystyle \mathbb {R} } \R las variables aleatorias se clasifican usualmente en:

    Variable aleatoria discreta: una v.a. es discreta si su recorrido es un conjunto discreto. La variable del ejemplo anterior es discreta. Sus probabilidades se recogen en la función de cuantía. (Véanse las distribuciones de variable discreta).
    Variable aleatoria continua: una v.a. es continua si su recorrido es un conjunto no numerable. Intuitivamente esto significa que el conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo de números reales. Por ejemplo, la variable que asigna la estatura a una persona extraída de una determinada población es una variable continua ya que, teóricamente, todo valor entre, pongamos por caso, 0 y 2,50 m, es posible.6 (Véanse las distribuciones de variable continua).

Las definiciones anteriores pueden generalizarse fácilmente a variables aleatorias con valores sobre R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} \mathbb {R} ^{n} o C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}. Esto no agota el tipo de variables aleatorias ya que el valor de una variable aleatoria puede ser también una partición, como sucede en el proceso estocástico del restaurante chino o el conjunto de valores de una variable aleatoria puede ser un conjunto de funciones como el proceso estocástico de Dirichlet. Distribución de probabilidad de una variable aleatoria

La distribución de probabilidad de una v.a. X, también llamada función de distribución de X es la función F X ( x ) {\displaystyle F_{X}(x)} {\displaystyle F_{X}(x)}, que asigna a cada evento definido sobre X {\displaystyle X} X una probabilidad dada por la siguiente expresión:

    F X ( x ) = P ( X ≤ x ) {\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)} {\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)}

Y de manera que se cumplan las siguientes tres condiciones:

    lim x → − ∞ F ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0} \lim _{x\to -\infty }F(x)=0 y lim x → ∞ F ( x ) = 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x)=1} {\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x)=1}
    Es continua por la derecha.
    Es monótona no decreciente.

La distribución de probabilidad de una v.a. describe teóricamente la forma en que varían los resultados de un experimento aleatorio. Intuitivamente se trataría de una lista de los resultados posibles de un experimento con las probabilidades que se esperarían ver asociadas con cada resultado.

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