Distribucion Multinomial

Distribucion Multinomial

Distribución multinomial

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En teoría de probabilidad, la distribución multinomial es una generalización de la distribución binomial.

La distribución binomial es la probabilidad de un número de éxitos en N sucesos de Bernoulli independientes, con la misma probabilidad de éxito en cada suceso. En una distribución multinomial, el análogo a la distribución de Bernoulli es la distribución categórica, donde cada suceso concluye en únicamente un resultado de un número finito K de los posibles, con probabilidades p 1 , … , p k {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}} p_{1},\dots ,p_{k} (tal que p i ≥ 0 {\displaystyle p_ī\geq 0} p_ī\geq 0 para i entre 1 y K y ∑ i = 1 k p i = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}p_ī=1} \sum _{i=1}^{k}p_ī=1); y con n sucesos independientes.

Entonces sea la variable aleatoria x i {\displaystyle x_ī} x_ī, que indica el número de veces que se ha dado el resultado i sobre los n sucesos. El vector x = ( x 1 , . . . , x k ) {\displaystyle x=(x_{1},…,x_{k})} x=(x_{1},…,x_{k}) sigue una distribución multinomial con parámetros n y p, donde p = ( p 1 , . . . , p k ) {\displaystyle p=(p_{1},…,p_{k})} p=(p_{1},…,p_{k}).

Nótese que en algunos campos las distribuciones categórica y multinomial se encuentran unidas, y es común hablar de una distribución multinomial cuando el término más preciso sería una distribución categórica.

Especificación Función de probabilidad

La función de probabilidad de la distribución multinomial es como sigue:

    f ( x 1 , … , x k ; n , p 1 , … , p k ) = Pr ( X 1 = x 1  y  …  y  X k = x k ) = { n ! x 1 ! ⋯ x k ! p 1 x 1 ⋯ p k x k , cuando  ∑ i = 1 k x i = n 0 En otros casos, {\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{1},\ldots ,x_{k};n,p_{1},\ldots ,p_{k})&{}=\Pr(X_{1}=x_{1}{\mbox{ y }}\dots {\mbox{ y }}X_{k}=x_{k})\\\\&{}={\begin{cases}{\displaystyle {n! \over x_{1}!\cdots x_{k}!}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}},\quad &{\mbox{cuando }}\sum _{i=1}^{k}x_ī=n\\\\0&{\mbox{En otros casos,}}\end{cases}}\end{aligned}}} {\begin{aligned}f(x_{1},\ldots ,x_{k};n,p_{1},\ldots ,p_{k})&{}=\Pr(X_{1}=x_{1}{\mbox{ y }}\dots {\mbox{ y }}X_{k}=x_{k})\\\\&{}={\begin{cases}{\displaystyle {n! \over x_{1}!\cdots x_{k}!}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}},\quad &{\mbox{cuando }}\sum _{i=1}^{k}x_ī=n\\\\0&{\mbox{En otros casos,}}\end{cases}}\end{aligned}}

Para enteros no negativos x1, …, xk. Propiedades

La esperanza matemática del suceso i observado en n pruebas es:

    E ⁡ ( X i ) = n p i . {\displaystyle \operatorname Ē (X_ī)=np_ī.\,} \operatorname Ē (X_ī)=np_ī.\,

La varianza es:

    var ⁡ ( X i ) = n p i ( 1 − p i ) . {\displaystyle \operatorname {var} (X_ī)=np_ī(1-p_ī).\,} \operatorname {var} (X_ī)=np_ī(1-p_ī).\,

Enlaces externos

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