Distribucion Hipergeometrica

Distribucion Hipergeometrica

Distribución hipergeométrica

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En teoría de la probabilidad la distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Suponga que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x ( 0 ≤ x ≤ d {\displaystyle 0\leq x\leq d} {\displaystyle 0\leq x\leq d}) elementos de la categoría A en una muestra sin reemplazo de n elementos de la población original. Propiedades

La función de probabilidad de una variable aleatoria con distribución hipergeométrica puede deducirse a través de razonamientos combinatorios y es igual a

    P ( X = x ) = ( d x ) ( N − d n − x ) ( N n ) , {\displaystyle P(X=x)={\frac {{d \choose x}{N-d \choose n-x}}{N \choose n}},} {\displaystyle P(X=x)={\frac {{d \choose x}{N-d \choose n-x}}{N \choose n}},}

donde N {\displaystyle N} N es el tamaño de población, n {\displaystyle n} n es el tamaño de la muestra extraída, d {\displaystyle d} d es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y x {\displaystyle x} x es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría. La notación ( a x ) {\displaystyle {a \choose x}} {\displaystyle {a \choose x}} hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar x {\displaystyle x} x elementos de un total a {\displaystyle a} a.

El valor esperado de una variable aleatoria X que sigue la distribución hipergeométrica es

    E [ X ] = n d N {\displaystyle E[X]={\frac {nd}{N}}} {\displaystyle E[X]={\frac {nd}{N}}}

y su varianza,

    V a r [ X ] = ( N − n N − 1 ) ( n d N ) ( 1 − d N ) . {\displaystyle Var[X]={\bigg (}{\frac {N-n}{N-1}}{\bigg )}{\bigg (}{\frac {nd}{N}}{\bigg )}{\bigg (}1-{\frac {d}{N}}{\bigg )}.} {\displaystyle Var[X]={\bigg (}{\frac {N-n}{N-1}}{\bigg )}{\bigg (}{\frac {nd}{N}}{\bigg )}{\bigg (}1-{\frac {d}{N}}{\bigg )}.}

En la fórmula anterior, definiendo

    p = d N {\displaystyle p={\frac {d}{N}}} {\displaystyle p={\frac {d}{N}}}

y

    q = 1 − p , {\displaystyle q=1-p\,,} {\displaystyle q=1-p\,,}

se obtiene

    V a r [ X ] = n p q N − n N − 1 . {\displaystyle Var[X]=npq{\frac {N-n}{N-1}}.} {\displaystyle Var[X]=npq{\frac {N-n}{N-1}}.}

La distribución hipergeométrica es aplicable a muestreos sin reemplazo y la binomial a muestreos con reemplazo. En situaciones en las que el número esperado de repeticiones en el muestreo es presumiblemente bajo, puede aproximarse la primera por la segunda. Esto es así cuando N es grande y el tamaño relativo de la muestra extraída, n/N, es pequeño.

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