Aplicaciones Transformaciones Lineales

Aplicaciones Transformaciones Lineales

Aplicaciones de las Transformaciones Lineales

Se aplican en sistemas de ecuaciones lineales, en matrices y en un sin número de problemas, gracias a las transformaciones lineales sabemos el dominio e imagen y teniendo esto saber si es un espacio vectorial.

Dada la transformación lineal

Determinar la matriz asociada a en la base canónica de cada espacio. Solución:

Sean <imagen> Las bases canónicas de<img>

 ,   respectivamente. Calculemos 

T(1;0;0) = (5;1)

 T(0;1;0) = (−2;4)
 T(0;0;1)  = (3;−2)

y escribamos cada vector en combinación lineal de la base C (5;1) = 5(1;0)+1(0;1)

 (−2;4)  = −2(1;0)+4(0;1) 

(3;−2) = 3(1;0)−2(0;1)

luego, <img>

Ejemplo: Dada la transformación lineal <img>

determinar [F] C , donde C= (1,0),(0,1)

Solución: Para determinar la matriz asociada a en la base canónica, primero calculemos

  F(1;0) = (3;1)
 F(0;1)  = (2;−4)

Ahora expresemos cada vector como combinación lineal de los elementos de la base (3;1) = 3(1;0)+1(0;1)

 (2;−4)= 2(1;0)−4(0;1) 

Así, <img>

1. Una casa editora publica un libro en tres ediciones diferentes: cubierta dura, cubierta blanda y cubierta de lujo. Cada libro requiere cierta cantidad de papel y de material para la cubierta. Los requisitos están dados en gramos por la siguiente matriz:

dado que x=(x1¦█(x2@x3)) represente el vector producción, donde x1, x2, x3 representan el número de libros con cubierta dura, cubierta blanda y cubierta de lujo respectivamente, que se publican. La transformación lineal T: R3 → R2 definida por T(x) = Ax nos da el vector (█(y1@y2)) donde y1 representa la cantidad total de papel requerido y y2 la cantidad de material para la cubierta. Suponga que x=(█(1000@700@200)) entonces

<img>

Por lo que se requiere 810,000 gramos en papel y 87,000 gramos en material para la cubierta.

2.-¿Puede una transformación lineal cambiar un dibujo por otro? Observa como la transformación T; R2 → R2 definida por T(x, y) = (x, x+y) cambia los siguientes dibujos:

<img>

<img>

3.-Dada la transformación lineal <img>

Determinar todos los espacios propios asociados a F sabiendo que a 2, −2 son los únicos valores propios. Solución: Determinemos el espacio propio asociado al valor propio 2 V2 = { (x;y)/T(x;y)=2(x;y)} = (x;y)/(x+y;3x-y)=2(x;y) = (x;y)/(-x+y;3x-3y)=(0;0) = {(x;y)/-x+y=0 = <(1;1)> Para el otro valor propio procedemos de manera similar V-2 = (x;y)/T(x;y)=−2(x;y) = (x;y)/(x+y;3x-y)=−2(x;y) = (x;y)/(3x+y;3x+y)=(0;0) = {(x;y)/3x+y=0} = <(1;−3)>


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