Aplicaciones De Logica Matematica

Aplicaciones De Logica Matematica

Lógica matemática

La lógica aparece ya desarrollada, incluso en forma simbólica, en la filosofía de Aristóteles. Sin embargo, corresponde realmente a la segunda mitad del siglo xix el reconocimiento de que las operaciones lógicas ordinarias pueden ser expresadas mediante operaciones algebraicas. Entonces se comenzó asimismo a sospechar que los números naturales, así como los demas objetos matemáticos, podrían ser definidos en términos puramente lógicos.

La motivación principal para muchos matemáticos de los siglos xix y xx en su dedicación al desarrollo de la lógica fue el deseo de deshacerse de las paradojas que surgieron en la teoría de conjuntos creada por Cantor. Un ejemplo: al considerar conjuntos diversos, parece claro que hay conjuntos que son elementos de sí mismos. Por ejemplo, el conjunto A de todas las cosas que no son verdes es una cosa no verde y por lo tanto un elemento de A. Llamemos a estos conjuntos autopertenecientes. Todos los otros conjuntos serán llamados noautopertenecientes. Asimismo, parece claro que puede uno considerar el conjunto C formado por todos los conjuntos noautopertenecientes. A continuación nos podemos preguntar si C es un conjunto autoperteneciente o noautoperteneciente. Pero si C es autoperteneciente, entonces es elemento de C y, como tal, es noautoperteneciente. Y si C es noautoperteneciente, entonces C debe ser un elemento de C, v por tanto C es autoperteneciente. ¿Cómo salir del atolladero?

Es claro que el razonamiento lógico necesita cierto control, si no queremos ser conducidos a situaciones semejantes. Para saber a qué atenerse en este respecto se ideó el procedimiento de formalización de los razonamientos matemáticos: partimos de ciertas proposiciones claramente establecidas, los axiomas, las manipulamos de acuerdo con reglas de inferencia bien determinadas e incluso exigiremos que axiomas y reglas sean representables mediante símbolos cuyo manejo se convierta así en manipulaciones puramente automáticas. De esta forma, puestos los axiomas y las reglas de inferencia, se podría comprobar (incluso por medio de una máquina) si un razonamiento que a partir de los axiomas da lugar a una proposición se ajusta a las reglas, es decir, si esta proposición es un teorema demostrable del sistema deductivo.

Durante muchos años se pensó que se podría construir un sistema en el que todo razonamiento matemático podría ser formalizado y su verdad controlada de esta forma, al menos en principio. Tal esperanza se derrumbó con la demostración de Gödel (1931) de que cualquier sistema que incluya la aritmética de los números naturales es incompleto, es decir, existen en él proposiciones que son verdaderas que no pueden ser demostradas dentro del sistema. El resultado de Gódel constituye uno de los puntos culminantes de la actividad del siglo xx en lógica matemática, y sus repercusiones en el pensamiento filosófico y en la teoría del conocimiento actuales son verdaderamente profundas.

Otro de los resultados más importantes del siglo en lógica matemática consiste en la demostración por Cohen (1963) de la independencia de la llamada hipótesis del continuo, según la cual no existiría ningún tipo de infinitud intermedio entre el modo de ser infinito de los números naturales y el de los números reales, es decir, que el infinito de los números reales es el infinito inmediatamente superior al de los números naturales. Cohen demostró que aquí se da una situación parecida a la de las geometrías no euclídeas. Es posible construir una matemática cantoriana, en la que la hipótesis del continuo es un axioma, y es posible también construir una matemática no cantoriana, en la que es un axioma la negación de la hipótesis del continuo.

La lógica matemática tiene, además de esta vertiente abstracta y filosófica, otra eminentemente aplicada y concreta. Al tratar de reducir el razonamiento deductivo de una manipulación con símbolos, la lógica prepara el camino para la introducción del computador en la ciencia. Una teoría formalizada es una teoría, al menos en principio, enteramente manipulable por un computador. El trabajo de los lógicos y de los analistas de la computación tiene, por tanto, mucho en común. Los lógicos se preguntan si ciertos problemas pueden ser, en principio, reducibles a un algoritmo, o sea, a una serie de operaciones bien definidas con símbolos, y cómo. El analista de la computación se pregunta si ciertos problemas pueden ser resueltos mediante algoritmos en un espacio de tiempo razonable mediante las máquinas existentes actualmente y cuál es el modo óptimo de hacerlo. Los progresos en el aspecto abstracto de la lógica pueden conducir a soluciones de los problemas de la ciencia de la computación, y viceversa.


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